Question

如图，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=

m

x

的图象交于A、B两点，且点A（-1，-3），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）把A的坐标代入求出m即可得出反比例函数的解析式；把B的坐标代入求出n，代入求出一次函数的解析式即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点C，根据三角形的面积公式求出△AOC和△BOC的面积即可；
（3）分类讨论：当以AB为对角线时，四边形OAPB为平行四边形，对角线交于点Q，根据平行四边形的性质得到Q为AB的中点，Q点为PO的中点，先利用归纳中的结论由A、B坐标确定Q点坐标，然后由点O与Q点坐标确定P点坐标；同理可确定当OB和OA为对角线时对应的P点坐标．

解答：解：（1）把点A代入反比例函数y=

m

x

，得m=3，反比例函数解析式为y=

3

x

，
把B代入y=

3

x

，得n=1，
把A（-1，-3），B（3，1）代入直线AB的解析式y=kx+b，则

-k+b=-3 3k+b=1

，
解得

k=1 b=-2

．
所以直线AB的解析式为y=x-2；
（2）令y=0，可得出x-2=0，得x=2，
∴C点坐标为（2，0），
∴S_△ABC=S_△OAC+S_△OBC=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=3+1=4；
（3）当以AB为对角线时，四边形OAPB为平行四边形，对角线交与点Q，
∴Q为AB的中点，Q点为PO的中点，
∴Q点坐标为（

-1+3

2

，

-3+1

2

），即Q（1，-1），
设P点坐标为（m，n），则

0+m

2

=1，

0+n

2

=-1，解得m=2，n=-2，
∴P点坐标为（2，-2）；
同理可得当以OB为对角线时，四边形OABP为平行四边形，此时P点坐标为（4，4）；
当以OA为对角线时，四边形OPAB为平行四边形，此时P点坐标为（-4，-4），
∴满足条件的P点坐标为（2，-2）或（4，4）或（-4，-4）．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，以及解一元一次方程，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握．综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．