Question

如图，正方形ABCD的边长为4，以BC为直径的⊙O交对角线BD于C，过A点作⊙O的切线，交CD于E，切点为F，连接BF．
（1）图中阴影部分的面积为

 

（结果保留π）；
（2）求S_△ADE；
（3）求BF的长．

Answer 1

考点：切线的性质,正方形的性质

专题：

分析：（1）连接OG，可证得∠GOB=90°，可先求得△ABD的面积，再求得弓形BOG的面积，可求得阴影部分的面积；
（2）根据切线长定理可知CE=EF，AF=AB=4，在Rt△ADE中可求得CE的长，进一步可求得DE的长，可求得△ADE的面积；
（3）连接AO，交BF于点H，利用等积法可求得BH，由垂径定理可求得BF=2BH，可得答案．

解答：解：（1）如图1，连接OG，

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBO=∠BGO=45°，
∴∠BOG=90°，
∴S_弓形BOG=

90πOB2

360

-

1

2

OB²=π-

1

2

×4=π-2，
又∵S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

×4×4=8，
∴S_阴影=S_△ABD-S_弓形BOG=8-（π-2）=10-π，
故答案为：10-π；
（2）∵BC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线，且AF是⊙O的切线，
∴AF=AB=4，CE=EF，
∴AE=4+CE，DE=4-CE，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE²=AD²+DE²，
即（4+CE）²=4²+（4-CE）²，解得CE=1，
∴DE=4-1=3，
∴S_△ADE=

1

2

AD•DE=

1

2

×4×3=6；
（3）如图2，连接AO，交BF于点H，连接OF，

在Rt△ABO中，由勾股定理可求得AO=2

5

，
在△ABO和△AFO中，

AB=AF BO=FO AO=AO

，
∴△ABO≌△AFO（SSS），
∴∠BAO=∠FAO，
∴AO⊥BF，
∴H为BF中点，
又∵

1

2

AB•BO=

1

2

AO•BH，即4×2=2

5

•BH，
解是BH=

4 5

5

，
∴BF=2BH=

8 5

5

．

点评：本题主要考查切线的性质和正方形的性质，掌握切线长定理是解题的关键，注意勾股定理和方程思想的应用．