Question

18．解方程x⁴-6x²+5=0这是一个一元四次方程，通常解法：设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-6y+5=0，解得：y₁=1，y₂=5．当y=1时，x²=1，∴x=±1；当y=5时，x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$．所以原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．仿照上例对方程x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-3（x+$\frac{1}{x}$）+2=0进行转化，求代数式x+$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 先根据完全平方公式变形，设x+$\frac{1}{x}$=y，则方程化为y²-3y=0，求出y即可．

解答 解：x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-3（x+$\frac{1}{x}$）+2=0，
（x+$\frac{1}{x}$）²-2x$•\frac{1}{x}$-3（x+$\frac{1}{x}$）+2=0，
（x+$\frac{1}{x}$）²-3（x+$\frac{1}{x}$）=0，
设x+$\frac{1}{x}$=y，则方程化为：y²-3y=0，
解得：y=3或0，
x+$\frac{1}{x}$=3或0．

点评 本题考查了解一元二次方程的应用，能正确换元是解此题的关键，难度不是很大．