Question

16．已知关于x的方程x²-（2m-3）x+m²+1=0有两个实数根x₁，x₂
（1）求m的取值范围；
（2）若令y=（x₁-x₂）²，求出y与m的函数关系式，并求出y的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据方程x²-（2m-3）x+m²+1=0有两个实数根x₁，x₂，可得△=（2m-3）²-4（m²+1）≥0，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m-3，x₁•x₂=m²+1，进而得到y与m的函数关系式为：y=-12m+5，结合m的取值范围求出y的最小值．

解答 解：（1）∵方程x²-（2m-3）x+m²+1=0有两个实数根x₁，x₂，
∴△≥0，
∴（2m-3）²-4（m²+1）≥0，
∴m≤$\frac{5}{12}$；

（2）∵x₁+x₂=2m-3，x₁•x₂=m²+1，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2m-3）²-4（m²+1）=-12m+5，
∴求出y与m的函数关系式为：y=-12m+5，
∵由（1）知道m≤$\frac{5}{12}$，
∴当m=$\frac{5}{12}$，y有最小值为0．

点评 本题主要考查了根的判别式、根与系数的关系以及二次函数的最值的知识，解答本题的关键是根据根的判别式求出m的取值范围，此题难度不大．