Question

【题目】如图，边长为4的正方形AOCD的顶点A、C分别在y轴和x轴上，点P的坐标为（2，0），以点P为圆心，OP的长为半径向正方形内部作一半圆，交线段DF于点F，线段DF的延长线交y轴于点E，DF=DC.

（1）求证：DF是半圆P的切线；

（2）求线段DF所在直线的解析式；

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）直线DF的解析式为

【解析】（1）首先利用SSS，得出△PDF≌△PDC，即可得出答案；
（2）由题意得：在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，进而得出E点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式.

（1）证明：连接PD、PF.

∵正方形AOCD的边长为4，而P的坐标为（2，0），

∴OP = 2，即P为BC的中点，有， 又DF= DC，PD = PD，

∴△PDF≌△PDC，

得∠PFD = ∠PCD，而，

，故DF是半圆P的切线.

（2）解：据题意，显然有EO切圆P于点O，

而EF切圆P于点F，则有EO = EF.若设EO = x，则，

，因而在中，，

，

解得即E点坐标为（0，1）.又点D为（4，4），

设直线DF的解析式为，那么有，解得.

∴直线DF的解析式为