【题目】如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是边AD的中点,N是AB上一动点(不与A、B重合),将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A1MN,连接A1C,画出点N从A到B的过程中A1的运动轨迹,A1C的最小值为_____.
【答案】
【解析】
试题解析:如图,连接CM,过点M向CD的延长线作垂线,垂足为点H,
由折叠可得,若点N与点B重合,则点A1与点D重合,
故点N从A到B的过程中,A1的运动轨迹为以M为圆心,MA为半径的半圆,
由翻折的性质可得:A1M=AM,
∵M是AD边的中点,四边形ABCD为菱形,边长为2,
∴AM=A1M=1,
∵∠A=60°,四边形ABCD为菱形,
∴∠HDM=60°,
∵在Rt△MHD中,DH=DMcos∠HDM=,MH=DMsin∠HDM=
,
∴CH=CD+DH=2+=
,
∴在Rt△CHM中,CM=,
∵A1C+A1M≥CM,
∴A1C≥CM﹣A1M=﹣1,
即当点A1在线段CM上时,A1C的最小值为﹣1.
故答案为:﹣1.
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【题目】如图,在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=5,AC=6,BD=8.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)过点A作AH⊥BC于点H,求AH的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,,连结AC,过点C作直线l∥AB,点P是直线l上的一个动点,直线PA与⊙O交于另一点D,连结CD,设直线PB与直线AC交于点E.
(1)求∠BAC的度数;
(2)当点D在AB上方,且CD⊥BP时,求证:PC=AC;
(3)在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时,求出所有满足条件的∠ACD的度数;
②设⊙O的半径为6,点E到直线l的距离为3,连结BD,DE,直接写出△BDE的面积.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点G,点F是CD上一点,且满足 =
,连接AF并延长交⊙O于点E,连接AD、DE,若CF=2,AF=3.
(1)求证:△ADF∽△AED;
(2)求FG的长;
(3)求证:tan∠E= .
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC,将△ABC沿EF折叠,使点A落在直角边BC上的D点处,设EF与AB、AC边分别交于点E、F,如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形,那么∠B=_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,),点M是抛物线C2:
(
<0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?若存在,求出△PBC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当△BDM为直角三角形时,求的值.
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【题目】如图,以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O,交矩形的对角线BD于点E,点F是BC的中点,连接EF.
(1)试判断EF与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若DC=2,EF=,点P是⊙O上不与E、C重合的任意一点,则∠EPC的度数为 (直接写出答案)
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【题目】如图,以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O,交矩形的对角线BD于点E,点F是BC的中点,连接EF.
(1)试判断EF与⊙O的位置关系,并说明理由.
(2)若DC=2,EF=,点P是⊙O上不与E、C重合的任意一点,则∠EPC的度数为 (直接写出答案)
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,将ABCD放置在第一象限,且AB∥x轴.直线y=﹣x从原点出发沿x轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示,那么AD的长为_____.
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