Question

【题目】如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．

（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；

（2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为　 　米．

（3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x2+8x+64；（2）4；（3）当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米

【解析】

（1）根据题意可得DG＝2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；

（2）根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：﹣2x2+8x+64＝64再解方程即可；

（3）根据二次函数的性质即可得到结论．

（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64，

故答案为：y＝﹣2x2+8x+64；

（2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64，

解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去），

答：BE的长为4米；

故答案为：y＝﹣2x2+8x+64（0＜x＜8）；

（3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72，

所以当x＝2时，y有最大值，

∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．