Question

3．在平面直角坐标系中，将一块为等腰Rt△ABC的三角板按如图所示放置，若AO=2，OC=1，∠ACB=90°．
（1）求点B的坐标；
（2）如果抛物线l：y=ax²-ax-2经过点B，试求抛物线l的解析式；
（3）在抛物线l上是否存在一点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；
（2）利用待定系数法，将点B的坐标代入可求出抛物线l的解析式；
（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，进行分析求得答案．

解答 解：（1）如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，
在△BDC和△COA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAO}\\{∠BDC=∠COA}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△BDC≌△COA（AAS），
∴BD=OC=1，CD=OA=2，
∴点B的坐标为（3，1）；
（2））∵抛物线y=ax²-ax-2过点B（3，1），
∴1=9a-3a-2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2；
（3）设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，
①若以AC为直角边，点C为直角顶点，
则延长BC至点P₁使得P₁C=BC，得到等腰直角三角形ACP₁，过点P₁作P₁M⊥x轴，如图所示，
∵CP₁=BC，∠MCP₁=∠BCD，∠P₁MC=∠BDC=90°，
∴△MP₁C≌△DBC，
∴CM=CD=2，P₁M=BD=1，
∴P₁（-1，-1），经检验点P₁在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2上；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₂⊥CA，且使得AP₂=AC，
得到等腰直角三角形ACP₂，过点P₂作P₂N⊥y轴，如图所示，
同理可证△AP₂N≌△CAO，
∴NP₂=OA=2，AN=OC=1，
∴P₂（-2，1），经检验P₂（-2，1）也在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2上；
③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP₃⊥CA，且使得AP₃=AC，
得到等腰直角三角形ACP₃，过点P₃作P₃H⊥y轴，如图所示，
同理可证△AP₃H≌△CAO，
∴HP₃=OA=2，AH=OC=1，
∴P₃（2，3），经检验P₃（2，3）不在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-2上；
故符合条件的点有P₁（-1，-1），P₂（-2，1）两点．

点评 此题考查了二次函数的综合应用，涉及了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用．