Question

13．如图，在平面直角坐标系中，△OBA∽△DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，点B的坐标为（5，12），∠BAO=∠OCD=90°，点D在第一象限，OD=6.5，函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过点D，交AB边于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）求k的值；
（3）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）先根据勾股定理求出OB的长，再由相似三角形的对应边成比例求出OC，DC的长，继而可得出结论；
（2）直接把D点坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（3）把x=5代入反比例函数的解析式得出y的值，再由BE=BA-AE即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠BAO=90°，OA=6，AB=12，
∴OB=$\sqrt{{OA}^{2}+{AB}^{2}}$=13．
∵△OBA∽△DOC，
∴$\frac{OA}{DC}$=$\frac{AB}{OC}$=$\frac{OB}{OD}$．
∴$\frac{5}{DC}$=$\frac{12}{OC}$=$\frac{13}{6.5}$．
∴OC=6，DC=2.5．   
∴点D的坐标为（6，2.5）．                

（2）把（6，2.5）代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0），得2.5=$\frac{k}{6}$，解得k=15；
            
（3）∵当x=5时，由y=$\frac{15}{x}$得y=3．                
∴AE=3．
∴BE=BA-AE=12-3=9．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、用待定系数法求反比例函数的关系式、相似三角形的性质等知识，难度适中．