Question

2．小红和小明在研究绝对值的问题时，碰到了下面的问题：
“当式子|x+1|+|x-2|取最小值时，相应的x的取值范围是-1≤x≤2，最小值是3”．
小红说：“如果去掉绝对值问题就变得简单了．”
小明说：“利用数轴可以解决这个问题．”
他们把数轴分为三段：x＜-1，-1≤x≤2和x＞2，经研究发现，当-1≤x≤2时，式子|x+1|+|x-2|的最小值为3．
请你根据他们的解题解决下面的问题：
（1）当式子|x-2|+|x-4|取最小值时，相应的x的取值范围是2≤x≤4，最小值是2．
（2）已知y=|2x+8|-4|x+2|，求相应的x的取值范围及y的最大值．写出解答过程．

Answer 1

分析 （1）根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
（2）根据两个绝对值，可得分类的标准，根据每一段的范围，可得到答案．

解答 解：（1）当x＜2时，原式=6-2x，此时6-2x＞2；当2≤x≤4时，原式=2；当x＞4时，原式=2x-6＞2，
∴当2≤x≤4时，|x-2|+|x-4|取最小值时，最小值为2．
故答案为：2≤x≤4；2．
（2）当x≥-2，时y=-2x，当x=-2时，y最大=4；
当-4≤x≤-2时，y=6x+16，当x-2时，y最大=4；
当x≤-4，时y=2x，当x=-4时，y最大=-8，
所以x=-2时，y有最大值y=4．

点评 本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，（2）分类讨论是解题关键．