Question

【题目】如图，已知圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD交于点N，点M在对角线BD上，且满足∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN．

求证：（1）M为BD的中点；（2） .

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）要证M为BD的中点，即证BM=DM，由∠BAM=∠DAN，∠BCM=∠DCN，及圆周角的性质易证明△BAM∽△CBM，△DAM∽△CDM得出比例的乘积形式，可证明BM=DM；

（2）欲证，可以通过平行线的性质证明，需要延长AM交圆于点P，连接CP，证明PC∥BD，得出比例式，相应解决MP=CM的问题即可．

试题解析：（1）根据同弧所对的圆周角相等，得∠DAN=∠DBC，∠DCN=∠DBA，

又∵∠DAN=∠BAM，∠BCM=∠DCN，

∴∠BAM=∠MBC，∠ABM=∠BCM，

∴△BAM∽△CBM，

∴ ，即BM2=AMCM ,①

又∠DCM=∠DCN+∠NCM=∠BCM+∠NCM=∠ACB=∠ADB，

∠DAM=∠MAC+∠DAN=∠MAC+∠BAM=∠BAC=∠CDM，

∴△DAM∽△CDM，

则 ，即DM2=AMCM ,②

由式①、②得：BM=DM，

即M为BD的中点；

（2）如图，延长AM交圆于点P，连接CP，

∴∠BCP=∠PAB=∠DAC=∠DBC，

∵PC∥BD，

∴, ③

又∵∠MCB=∠DCA=∠ABD，∠DBC=∠PCB，

∴∠ABC=∠MCP,

而∠ABC=∠APC，

则∠APC=∠MCP，

有MP=CM,④

由式③、④得： ．