Question

【题目】己知AB是⊙0的直径，AP是⊙0的切线，A是切点，BP与⊙0交于点C．

(1)如图①，若AB=2，∠P=30，求AP的长．（结果保留根号）

(2)如图②，若D为AP的中点，∠P=30，求证：直线CD是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；

（2）本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角△ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．

解:（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°.

在Rt△PAB中，，，∴.

由勾股定理，得 .

(2)如图，连接OC、AC，∵AB是⊙O的直径，

∴，有.

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴.

∴.，

又 ∵，

∴.

∵，

∴，即，

∴ 直线是⊙的切线.