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【题目】如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,点A的坐标为(100),抛物线y=ax2+bx+4过点BC两点,且与x轴的一个交点为D﹣20),点P是线段CB上的动点,设CP=t0t10).

1)请直接写出BC两点的坐标及抛物线的解析式;

2)过点PPE⊥BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时,∠PBERt△OCD中的一个角相等

3)点Qx轴上的动点,过点PPM∥BQ,交CQ于点M,作PN∥CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时,求t的值.

【答案】1;(2t=3;(3

【解析】试题分析:(1)由抛物线的解析式可求得C点坐标,由矩形的性质可求得B点坐标,由BD的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2)可设Pt,4),则可表示出E点坐标,从而可表示出PBPE的长,由条件可证得△PBE∽△OCD,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;

(3)当四边形PMQN为正方形时,则可证得△COQ∽△QAB,利用相似三角形的性质可求得CQ的长,在Rt△BCQ中可求得BQCQ,则可用t分别表示出PMPN,可得到关于t的方程,可求得t的值.

试题解析:

解:1)在yax2bx4中,令x0可得y4

C04),

∵四边形OABC为矩形,且A100),

B104),

BD坐标代入抛物线解析式可得

解得

∴抛物线解析式为yx2x4

2)由题意可设Pt4),则Et t2t4),

PB10tPEt2t44t2t

∵∠BPE=∠COD90°

当∠PBE=∠OCD时,

PBE∽△OCD

,即BPODCOPE

210t)=4t2t),解得t3t10(不合题意,舍去),

∴当t3时,∠PBE=∠OCD

当∠PBE=∠CDO

PBE∽△ODC

,即BPOCDOPE

410t2t2t),解得t12t10(均不合题意,舍去)

综上所述∴当t3时,∠PBE=∠OCD

3)当四边形PMQN为正方形时,则∠PMC=∠PNB=∠CQB90°PMPN

∴∠CQO+∠AQB90°

∵∠CQO+∠OCQ90°

∴∠OCQ=∠AQB

RtCOQRtQAB

,即OQAQCOAB

OQm,则AQ10﹣m

m10﹣m4×4,解得m2m8

①当m2时,CQBQ

sinBCQsinCBQ

PMPCsinPCQtPNPBsinCBQ10t),

t 10t,解得t

②当m8时,同理可求得t

∴当四边形PMQN为正方形时,t的值为

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