【题目】如图,矩形OABC的两边在坐标轴上,点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4过点B,C两点,且与x轴的一个交点为D(﹣2,0),点P是线段CB上的动点,设CP=t(0<t<10).
(1)请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式;
(2)过点P作PE⊥BC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时,∠PBE和Rt△OCD中的一个角相等?
(3)点Q是x轴上的动点,过点P作PM∥BQ,交CQ于点M,作PN∥CQ,交BQ于点N,当四边形PMQN为正方形时,求t的值.
【答案】(1);(2)t=3;(3)或
【解析】试题分析:(1)由抛物线的解析式可求得C点坐标,由矩形的性质可求得B点坐标,由B、D的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)可设P(t,4),则可表示出E点坐标,从而可表示出PB、PE的长,由条件可证得△PBE∽△OCD,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;
(3)当四边形PMQN为正方形时,则可证得△COQ∽△QAB,利用相似三角形的性质可求得CQ的长,在Rt△BCQ中可求得BQ、CQ,则可用t分别表示出PM和PN,可得到关于t的方程,可求得t的值.
试题解析:
解:(1)在y=ax2+bx+4中,令x=0可得y=4,
∴C(0,4),
∵四边形OABC为矩形,且A(10,0),
∴B(10,4),
把B、D坐标代入抛物线解析式可得,
解得,
∴抛物线解析式为y=x2+x+4;
(2)由题意可设P(t,4),则E(t, t2+t+4),
∴PB=10﹣t,PE=t2+t+4﹣4=t2+t,
∵∠BPE=∠COD=90°,
当∠PBE=∠OCD时,
则△PBE∽△OCD,
∴,即BPOD=COPE,
∴2(10﹣t)=4(t2+t),解得t=3或t=10
∴当t=3时,∠PBE=∠OCD;
当∠PBE=∠CDO时,
则△PBE∽△ODC,
∴,即BPOC=DOPE,
∴4(10﹣t)=2(t2+t),解得t=12或t=10(均不合题意,舍去)
综上所述∴当t=3时,∠PBE=∠OCD;
(3)当四边形PMQN为正方形时,则∠PMC=∠PNB=∠CQB=90°,PM=PN,
∴∠CQO+∠AQB=90°,
∵∠CQO+∠OCQ=90°,
∴∠OCQ=∠AQB,
∴Rt△COQ∽Rt△QAB,
∴,即OQAQ=COAB,
设OQ=m,则AQ=10﹣m,
∴m(10﹣m)=4×4,解得m=2或m=8,
①当m=2时,CQ==,BQ==,
∴sin∠BCQ==,sin∠CBQ==,
∴PM=PCsin∠PCQ=t,PN=PBsin∠CBQ=(10﹣t),
∴t =(10﹣t),解得t=,
②当m=8时,同理可求得t=,
∴当四边形PMQN为正方形时,t的值为或.
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【题目】作图题:如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣1,4),C(﹣3,2).
(1)画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,并直接写出C1点坐标;
(2)以原点O为位似中心,位似比为1:2,在y轴的左侧,画出△ABC放大后的图形△A2B2C2,并直接写出C2点坐标;
(3)如果点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(2)的变化后D的对应点D2的坐标.
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【题目】如图1在正方形ABCD的外侧作两个等边三角形ADE和DCF,连接AF,BE.
(图1) (图2) (备用图)
(1)请判断:AF与BE的数量关系是_____________,位置关系______________;
(2)如图2,若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF,且EA=ED=FD=FC”,第(1)问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明;
(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形,且AE=DF,ED=FC,第(1)问中的结论都能成立吗?请直接写出你的判断.
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【题目】如图所示,在边长为a米的正方形草坪上修建两条宽为b米的道路.
(1)为了求得剩余草坪的面积,小明同学想出了两种办法,结果分别如下:
方法①: 方法②:
请你从小明的两种求面积的方法中,直接写出含有字母a,b代数式的等式是:
(2)根据(1)中的等式,解决如下问题:
①已知:,求的值;
②己知:,求的值.
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【题目】每年农历五月初五,是中国民间的传统节日——端午节.它始于我国的春秋战国时期,已列为世界非物质文化遗产.时至今日,端午节在我国仍是一个十分盛行的节日.今年端午节,某地甲、乙两家超市为吸引更多的顾客,开展促销活动,对某种质量和售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案.甲超市的方案是:购买该种粽子超过80元后,超出80元的部分按九折收费;乙超市的方案是:购买该种粽子超过120元后,超出120元的部分按八折收费.请根据顾客购买粽子的金额,选择到哪家超市购买粽子划算?
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【题目】在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1个单位长度,的顶点均在格点上.(画图要求:先用铅笔画图,然后用黑色水笔描画)
(1)①画出绕点按逆时针方向旋转后的;
②连结,请判断是怎样的三角形,并简要说明理由.
(2)画出,使和关于点成中心对称;
(3)请指出如何平移,使得和能拼成一个长方形.
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