Question

【题目】如图所示，在正方形ABCD中，点E是边AB上一动点(不与A，B重合)，延长BA至点F，使AF=BE，连接CE，DF．

(1) 判断四边形CEFD的形状，并说明理由；

(2) 如图①，连接AC，过点E作EH⊥AC，垂足为点H．

①证明：AH=EH；

②若BE：AE=1：，求∠BCE的度数；

③如图②，连接FH，在点E的运动过程中，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)平行四边形，证明详见解析； (2)①详见解析； ②22.5°；③不变，．

【解析】

（1）由AF=BE，得出AB=EF．由正方形的性质得出CD=AB=BC，CD∥AB，即可证出四边形CEFD是平行四边形；

（2）①由正方形的性质，得到∠EAH=45°，由∠AHE=90°，则△AEH是等腰直角三角形，即可得到AH=EH；

②由等腰三角形的性质，得到，则BE=EH，然后证明△BCE≌△HCE，即可得到答案；

③由，∠EAH=∠HEA=45°，得到△ACE∽△EFH，即可得到．

解：（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=AB=BC，CD∥AB．

∵AF=BE，

∴AB=EF．

∴CD=EF，CD∥EF．

∴四边形CEFD是平行四边形．

（2）①∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EAH=45°，

∵EH⊥AC，

∴∠AHE=90°，

∴△AEH是等腰直角三角形，

∴AH=EH；

②∵△AEH是等腰直角三角形，

∴，

∵BE：AE=1：，

∴，

∴，

∵CE=CE，∠B=∠CHE=90°，

∴△BCE≌△HCE（HL），

∴∠BCE=∠HCE，

∵∠BCH=45°，

∴∠BCE=22.5°；

③由△AEH是等腰直角三角形，

∴∠EAH=∠HEA=45°，

在等腰直角△ABC中，有，

∵，

∴；

∵，

∴，

∴，

∴△ACE∽△EFH，

∴；

∴的值不变，．