Question

14．已知AB是圆O的直径，CA与圆O相切于A，且CA=AB=2，过C作圆O的切线CD，切点为D，连接BD并延长交过C与AB平行的直线于E，给出下列结论：①CE=1；②DE：BD=3：2；③S_△CDE=$\frac{3}{5}$；④sin∠ECD=$\frac{2}{5}$．其中正确的结论是（只填序号）①②③．

Answer 1

分析 根据切线的性质可得OA⊥AC，OD⊥CD，进一步得出∠AOC=∠PBD，证得四边形CEBO是平行四边形，得到CE=OB=$\frac{1}{2}$AB=1；根据勾股定理求得BE，然后根据射影定理求得BD，即可求得DE，从而求得DE：BD=3：2；由②可知：h₁：h₂=3：5，求得h₁的值，根据面积公式求得S_△CDE=$\frac{3}{5}$；解直角三角形即可求得sin∠ECD=$\frac{{h}_{1}}{CD}$=$\frac{3}{5}$；继而得到结论①②③成立．

解答 解：①连接OD，OC，
∵CA、CD是圆O的切线，
∴OA⊥AC，OD⊥CD，
∵OA=OD=1，
∴∠ACO=∠DCO，
∴∠AOC=∠DOC=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∵∠OBD=$\frac{1}{2}$∠AOD，
∴∠AOC=∠PBD，
∴CO∥BE，
∵CE∥AB，
∴四边形CEBO是平行四边形，
∴CE=OB=$\frac{1}{2}$AB=1；
②连接OE，过O点作OF⊥BD，
∴BF=$\frac{1}{2}$BD，
∵∠EOB=90°，OE=AC=2，
∴BE=$\sqrt{O{E}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵OB²=BF•BE，
即1²=$\frac{1}{2}$BD×$\sqrt{5}$，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=BE-BD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴DE：BD=3：2；
③设D到CE的距离为h₁，B到CE的距离为h₂，则S_△CDE=$\frac{CE•{h}_{1}}{2}$，
由②可知：h₁：h₂=3：5，
∴h₁=2×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴S_△CDE=$\frac{CE•{h}_{1}}{2}$=1×$\frac{6}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$；
④sin∠ECD=$\frac{{h}_{1}}{CD}$=$\frac{\frac{6}{5}}{2}$=$\frac{3}{5}$；
所以正确的结论是①②③，
故答案为①②③．

点评 本题考查了切线的性质，角平分线的判定，平行四边形的判定和性质三角形的面积以及解直角三角形等，在本题中借用切线的性质，求得相应角的关系是解题的关键．