Question

【题目】将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点的对应点分别为

（1）当点落在上时

①如图1，若，求证：

②如图2，交于点．若，求证：；

（2）若，

①如图3，当过点C时，则的长=_____．

②当时，作，绕点转动，当直线经过时，直线交边于，的值=______．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）①，②

【解析】

（1）①首先证明△A1B是等边三角形，可得∠AA1B＝∠A1BD1＝60°，即可解决问题．
②首先证明Rt△BCD1≌RtD1A1B（HL），得到四边形ABD1C是平行四边形，推出OC＝OB，再证明△DCO≌△ABO（SAS）即可解决问题．
（2）①如图3中，作A1E⊥AB于E，A1F⊥BC于F．利用勾股定理求出AE，A1E即可解决问题；

②分两种情况，当△A1BE旋转到图4位置时以及当△A1BE旋转到图5位置时，分别证明△DAN∽△BEN即利用相似比得到．

（1）证明：①∵∠CAB＝60°，

由旋转可知，BA＝BA1，
∴△ABA1是等边三角形，
∴∠AA1B＝60°，
∵∠A1BD1＝∠CAB =60°，
∴∠AA1B＝∠A1BD1，
；

②如图2中，连接BD1，BD，DD1．

由旋转可知：BA＝BA1，BD＝BD1，∠ABA1＝∠DBD1，
∴∠BAA1＝∠BDD1，
∵在矩形ABCD中，∠BAA1=∠ABD＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BDD1，
∴D，C，D1共线，
∵∠BCD1＝∠BA1D1＝90°，

∴在中Rt△BCD1与RtD1A1B中

BD1＝D1B，BC＝A1D1，
∴Rt△BCD1≌RtD1A1B（HL），
∴CD1＝BA1，
∵BA＝BA1，
∴AB＝CD1，

∵AC＝BD1
∴四边形ABD1C是平行四边形，
∴OC＝OB
∵CD＝BA，∠DCO＝∠ABO=90°，
∴△DCO≌△ABO（SAS），
∴DO＝OA．

（2）①如图3中，作A1P⊥AB于P，A1Q⊥BC于Q．

在Rt△A1BC中，∵∠CA1B＝90°，BC＝15．A1B=CD＝9，
∴CA1＝，
∵，
∴A1Q＝，

∵∠A1QB＝∠A1PB＝∠PBQ＝90°，
∴四边形A1PBQ是矩形，
∴PB＝A1Q＝，A1P＝BQ＝，
∴AP＝9=，
在Rt△AA1E中，AA1＝，

故答案为：

②当△A1BE旋转到图4位置时，直线A1E经过点D，

由旋转可知，A1B=AB=9，

∵∠A1BE=45°，∠A1EB=90°，

∴BE=A1E=，

∵∠A1EB=∠DAN=90°，∠AND=∠ENB，

∴△AND∽△ENB，

∴，

当△A1BE旋转到图5位置时，直线A1E经过点D，

由旋转可知，A1B=AB=9，

∵∠A1BE=45°，∠A1EB=90°，

∴BE=A1E=，

∵∠DAN=∠BEN=90°，∠AND=∠ENB，

∴△DAN∽△BEN，

∴，

综上所述，，

故答案为：．