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【题目】如图,ABC内接于⊙O,CBG=A,CD为直径,OCAB相交于点E,过点EEFBC,垂足为F,延长CDGB的延长线于点P,连接BD.

(1)求证:PG与⊙O相切;

(2)若=,求的值;

(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长.

【答案】(1)证明见解析;(2);(3)OE=2﹣4.

【解析】

1)要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°,由∠A与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=DBO可得∠CBG=DBO,结合∠DBO+OBC=90°即可得证;

(2)求需将BEOCOC相等线段放入两三角形中,通过相似求解可得,作OMAC、连接OA,证BEF∽△OAM,由AM=AC、OA=OC,结合即可得;

(3)RtDBC中求得BC=8DCB=30°,在RtEFC中设EF=x,知EC=2x、FC=x、BF=8x,继而在RtBEF中利用勾股定理求出x的,从而得出答案.

1)如图,连接OB,则OB=OD,

∴∠BDC=DBO,

∵∠BAC=BDC、BDC=GBC,

∴∠GBC=BDC,

CD是⊙O的切线,

∴∠DBO+OBC=90°,

∴∠GBC+OBC=90°,

∴∠GBO=90°,

PG与⊙O相切;

(2)过点OOMAC于点M,连接OA,

则∠AOM=COM=AOC,

∴∠ABC=AOC,

又∵∠EFB=OGA=90°,

∴△BEF∽△OAM,

AM=AC,OA=OC,

又∵

(3)PD=OD,PBO=90°,

BD=OD=8,

RtDBC中,BC==8

又∵OD=OB,

∴△DOB是等边三角形,

∴∠DOB=60°,

∵∠DOB=OBC+OCB,OB=OC,

∴∠OCB=30°,

=

∴可设EF=x,则EC=2x、FC=x,

BF=8x,

RtBEF中,BE2=EF2+BF2

100=x2+(8x)2

解得:x=6±

6+>8,舍去,

x=6﹣

EC=12﹣2

OE=8﹣(12﹣2)=2﹣4.

练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图1,以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.

(1)线段AE=____________;

(2)如图2,以点A为端点作∠DAM=30°,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉,使Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),旋转过程中AD与⊙O交于点F.

①当α=30°时,请求出线段AF的长;

②当α=60°时,求出线段AF的长;判断此时DM与⊙O的位置关系,并说明理由;

③当α=___________°时,DM与⊙O相切。

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,已知正方形ABCD中,边长为10cm,点E在AB边上,BE=6cm.如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动,设运动的时间为t秒,

(1)CP的长为 cm(用含t的代数式表示);

(2)若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等,求a的值.

(3)若点Q以(2)中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿正方形ABCD四边运动.则点P与点Q会不会相遇?若不相遇,请说明理由.若相遇,求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇?

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】如图,矩形ABCD的顶点A,Bx轴上,且关于y轴对称,反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,反比例函数y=(x<0)的图象分别与AD,CD交于点E,F,若SBEF=7,k1+3k2=0,则k1等于_____

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科目:初中数学 来源: 题型:

【题目】(本题10分)对于平面直角坐标系xOy中的点P(ab),若点P的坐标为(akab)(k为常数,k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.例如:P(1,4)的“2属派生点”为P′(1+,2×1+4),即P′(3,6).

(1) ① 点P(-1,-2)的“2属派生点”P′的坐标为_______________

② 若点P的“k属派生点”为P′(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标_____________

(2) 若点Px轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为P′点,且△OPP′为等腰直角三角形,则k的值为____________

(3) 如图,点Q的坐标为(0, ),点A在函数x<0)的图象上,且点A是点B的“属派生点”.当线段BQ最短时,求B点坐标.

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【题目】尺规作图要求:、过直线外一点作这条直线的垂线;、作线段的垂直平分线;

、过直线上一点作这条直线的垂线;、作角的平分线.

如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:

则正确的配对是(  )

A. ﹣Ⅳ,﹣Ⅱ,﹣Ⅰ,﹣Ⅲ B. ﹣Ⅳ,﹣Ⅲ,﹣Ⅱ,﹣Ⅰ

C. ﹣Ⅱ,﹣Ⅳ,﹣Ⅲ,﹣Ⅰ D. ﹣Ⅳ,﹣Ⅰ,﹣Ⅱ,﹣Ⅲ

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【题目】如图,RtCEF中,∠C=90°,∠CEF, CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CECF的垂线,BD为垂足.

(1)求证:四边形ABCD是正方形,

(2)已知AB的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值,

(3)借助于上面问题的解题思路,解决下列问题:若三角形PQR中,∠QPR=45°,一条高是PH,长度为6,QH=2,则HR= .

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【题目】如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5,﹣2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.

尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少?

(2)求第5个台阶上的数x是多少?

应用 求从下到上前31个台阶上数的和.

发现 试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.

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【题目】ABC中,高ADBE所在的直线交于点H,且BH=AC,则∠ABC等于( )

A. 45° B. 120° C. 45°135° D. 45°120°

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