【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.
(1)求证:PG与⊙O相切;
(2)若=,求的值;
(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)OE=2﹣4.
【解析】
(1)要证PG与⊙O相切只需证明∠OBG=90°,由∠A与∠BDC是同弧所对圆周角且∠BDC=∠DBO可得∠CBG=∠DBO,结合∠DBO+∠OBC=90°即可得证;
(2)求需将BE与OC或OC相等线段放入两三角形中,通过相似求解可得,作OM⊥AC、连接OA,证△BEF∽△OAM得,由AM=AC、OA=OC知,结合即可得;
(3)Rt△DBC中求得BC=8、∠DCB=30°,在Rt△EFC中设EF=x,知EC=2x、FC=x、BF=8﹣x,继而在Rt△BEF中利用勾股定理求出x的,从而得出答案.
(1)如图,连接OB,则OB=OD,
∴∠BDC=∠DBO,
∵∠BAC=∠BDC、∠BDC=∠GBC,
∴∠GBC=∠BDC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠DBO+∠OBC=90°,
∴∠GBC+∠OBC=90°,
∴∠GBO=90°,
∴PG与⊙O相切;
(2)过点O作OM⊥AC于点M,连接OA,
则∠AOM=∠COM=∠AOC,
∵,
∴∠ABC=∠AOC,
又∵∠EFB=∠OGA=90°,
∴△BEF∽△OAM,
∴,
∵AM=AC,OA=OC,
∴,
又∵,
∴;
(3)∵PD=OD,∠PBO=90°,
∴BD=OD=8,
在Rt△DBC中,BC==8,
又∵OD=OB,
∴△DOB是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∵∠DOB=∠OBC+∠OCB,OB=OC,
∴∠OCB=30°,
∴,=,
∴可设EF=x,则EC=2x、FC=x,
∴BF=8﹣x,
在Rt△BEF中,BE2=EF2+BF2,
∴100=x2+(8﹣x)2,
解得:x=6±,
∵6+>8,舍去,
∴x=6﹣,
∴EC=12﹣2,
∴OE=8﹣(12﹣2)=2﹣4.
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【题目】如图1,以边长为8的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O,交对角线AC于点E.
(1)线段AE=____________;
(2)如图2,以点A为端点作∠DAM=30°,交CD于点M,沿AM将四边形ABCM剪掉,使Rt△ADM绕点A逆时针旋转(如图3),设旋转角为α(0°<α<150°),旋转过程中AD与⊙O交于点F.
①当α=30°时,请求出线段AF的长;
②当α=60°时,求出线段AF的长;判断此时DM与⊙O的位置关系,并说明理由;
③当α=___________°时,DM与⊙O相切。
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【题目】如图,已知正方形ABCD中,边长为10cm,点E在AB边上,BE=6cm.如果点P在线段BC上以4cm/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CD上以acm/秒的速度由C点向D点运动,设运动的时间为t秒,
(1)CP的长为 cm(用含t的代数式表示);
(2)若以E、B、P为顶点的三角形和以P、C、Q为顶点的三角形全等,求a的值.
(3)若点Q以(2)中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿正方形ABCD四边运动.则点P与点Q会不会相遇?若不相遇,请说明理由.若相遇,求出经过多长时间点P与点Q第一次在正方形ABCD的何处相遇?
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A,B在x轴上,且关于y轴对称,反比例函数y=(x>0)的图象经过点C,反比例函数y=(x<0)的图象分别与AD,CD交于点E,F,若S△BEF=7,k1+3k2=0,则k1等于_____.
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【题目】(本题10分)对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b),若点P的坐标为(a+,ka+b)(k为常数,k≠0),则称点P′为点P的“k属派生点”.例如:P(1,4)的“2属派生点”为P′(1+,2×1+4),即P′(3,6).
(1) ① 点P(-1,-2)的“2属派生点”P′的坐标为_______________
② 若点P的“k属派生点”为P′(3,3),请写出一个符合条件的点P的坐标_____________
(2) 若点P在x轴的正半轴上,点P的“k属派生点”为P′点,且△OPP′为等腰直角三角形,则k的值为____________
(3) 如图,点Q的坐标为(0, ),点A在函数(x<0)的图象上,且点A是点B的“属派生点”.当线段BQ最短时,求B点坐标.
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【题目】尺规作图要求:Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ、作线段的垂直平分线;
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ、作角的平分线.
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:
则正确的配对是( )
A. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅱ,③﹣Ⅰ,④﹣Ⅲ B. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅲ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅰ
C. ①﹣Ⅱ,②﹣Ⅳ,③﹣Ⅲ,④﹣Ⅰ D. ①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ
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【题目】如图,Rt△CEF中,∠C=90°,∠CEF, ∠CFE外角平分线交于点A,过点A分别作直线CE、CF的垂线,B、D为垂足.
(1)求证:四边形ABCD是正方形,
(2)已知AB的长为6,求(BE+6)(DF+6)的值,
(3)借助于上面问题的解题思路,解决下列问题:若三角形PQR中,∠QPR=45°,一条高是PH,长度为6,QH=2,则HR= .
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【题目】如图,阶梯图的每个台阶上都标着一个数,从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着﹣5,﹣2,1,9,且任意相邻四个台阶上数的和都相等.
尝试 (1)求前4个台阶上数的和是多少?
(2)求第5个台阶上的数x是多少?
应用 求从下到上前31个台阶上数的和.
发现 试用含k(k为正整数)的式子表示出数“1”所在的台阶数.
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【题目】在△ABC中,高AD和BE所在的直线交于点H,且BH=AC,则∠ABC等于( )
A. 45° B. 120° C. 45°或135° D. 45°或120°
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