Question

如图①，正方形OABC的边长为4，双曲线y=

k

x

（x＞0）交AB于M，且AM=3BM．
（1）求k的值；
（2）如图②，P是双曲线上的点，且OP⊥MC，求P点的坐标；
（3）如图③，N是BC与双曲线y=

k

x

（x＞0）的交点．NE⊥OA于E．直线NE上是否存在点F，使得△MAF是腰长为3的等腰三角形？若存在，求出所有可能的点F；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得AM的长，则M的坐标即可求得，然后根据待定系数法求得函数的解析式；
（2）首先求得CM的解析式，然后根据OP⊥MC，即可求得OP的解析式；
（3）AM=3，则AM一定是三角形的腰，然后分A时顶角和D是顶角两种情况进行讨论即可求解．

解答： 解：（1）∵AB=4，AM=3BM．
∴AM=3，
则M的坐标是（4，3）．
把（4，3）代入y=

k

x

得：k=12，
则函数的解析式是：y=

12

x

；
（2）设CM的解析式是y=kx+b，
则

b=4 4k+b=3

，
解得：

b=4 k=- 1 3

，
则直线CM的解析式时：y=-

1

3

x+4，
则直线OP的解析式是：y=3x．
解方程组

y=3x y= 12 x

，
解得：

x=2 y=6

或

x=-2 y=-6

（舍去）．
则P的坐标是（2，6）；
（3）在y=

12

x

中，令y=4，解得：x=3，则N的坐标是（3，4）．E的坐标是（3，0）．
∵AM=3，
∴AM一定是三角形的腰长．
当A是顶角定点时．
设点F的坐标是（3，m）．
则（4-3）²+m²=3²，
解得：m=±2

2

，
则P的坐标是（3，2

2

）或（3，-2

2

）；
当M是顶点时，设P的坐标是（3，n），
则（4-1）²+（3-n）²=3²，
解得：n=3±2

2

．
则P的坐标是（3，3+2

2

）或（3，3-2

2

）．
总之，P的坐标是：（3，2

2

）或（3，-2

2

）或（3，3+2

2

）或（3，3-2

2

）．

点评：本题是反比例函数与等腰三角形的性质以及勾股定理的综合应用，正确对△AMP进行讨论是解题的关键．