Question

【题目】将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板的直角顶点是点，，直角板的直角顶点在上，且，．三角板固定不动，将三角板绕点逆时针旋转，旋转角为．

（1）当_______时，；

（2）当时，三角板绕点逆时针旋转至如图2位置，设与交于点，交于点，求四边形的面积．

（3）如图3，设，四边形的面积为，求关于的表达式（不用写的取值范围）．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）；（3）．

【解析】

（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠MDC=∠F，再根据旋转的性质可得旋转角α=∠MDC；

（2）根据旋转的性质可得∠MDC=α=45°，再根据等腰三角形的性质可得∠C=45°，然后求出∠DMC=90°，同理可求∠DNA=90°，然后求出四边形ANDM是矩形，再根据△DNA和△BAC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出DM=1，同理求出DN=2，最后根据矩形的面积公式列式计算即可得解；

（3）过作于点，作于点，根据同角的余角相等求出，然后求出相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，然后表示MH1，再表示出BN，最后根据四边形ANDM的面积，列式整理即可得解．

解：（1）∵，

∴∠MDC=∠F，

∴旋转角度；

（2）当，即，

，

，

同理，

又，

四边形为矩形

，

，

∴

，

，

，

同理得

；

（3）如图3，过作于点，作于点

图3

由（2）知四边形为矩形，，，

，

，，

，

，，

，

又，

，

，，

，

．