Question

12．如图，点P是双曲线y=-$\frac{{9\sqrt{3}}}{x}$（x＜0）上动点，在y轴上取点Q，使得以P、Q、O为顶点的三角形是含有60°角的直角三角形，则符合条件的点Q的坐标是（0，3$\sqrt{3}$）、（0，3）、（0，12）、（0，4$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 设P点坐标为（-a，b），a＞0，可得ab=9$\sqrt{3}$；讨论：（1）若∠OQP=90°，①当∠OPQ=60°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得b=$\sqrt{3}$a，而点P在反比例函数图象上，即可求得a与b，于是可确定Q点坐标；②当∠POQ=60°，利用同样方法可求Q点坐标；（2）若∠OPQ=90°，作PA⊥y轴于A点，①当∠POQ=60°，根据（1）可得到P点坐标，再计算AQ的长，即可得到Q点坐标；②当∠PQO=60°，计算方法与②一样．

解答 解：设点P的坐标为：（-a，b）且a＞0，
则-ab=-9$\sqrt{3}$，
即ab=9$\sqrt{3}$，
（1）如图1，若∠OQP=90°，
①当∠OPQ=60°时，b=$\sqrt{3}$a，
∴$\sqrt{3}$a²=9$\sqrt{3}$，
解得：a=3，
∴b=3$\sqrt{3}$；
∴Q₁的坐标为：（0，3$\sqrt{3}$）；
②当∠POQ=60°时，a=$\sqrt{3}$b，
∴$\sqrt{3}$b²=9$\sqrt{3}$，
解得：b=3，
∴Q₂的坐标为：（0，3）；
（2）如图2，若∠OPQ=90°，过点P作PA⊥y轴于点A，
①若∠POQ=60°，则a=$\sqrt{3}$b，
∴$\sqrt{3}$b²=9$\sqrt{3}$，
解得：b=3，
∴a=3$\sqrt{3}$，
∴PA=3$\sqrt{3}$，
∵∠OQP=30°，
∴AQ=PA•tan60°=9，
∴OQ=OA+AQ=12，
∴点Q的坐标为：（0，12）；
②若∠PQO=60°时，则∠POQ=30°，
∴b=$\sqrt{3}$a，
∴$\sqrt{3}$a²=9$\sqrt{3}$，
解得：a=3，
∴b=3$\sqrt{3}$，
∴PA=3，
∴AQ=$\frac{PA}{tan60°}$=$\sqrt{3}$，
∴OQ=OA+AQ=4$\sqrt{3}$，
∴点Q的坐标为：（0，4$\sqrt{3}$）；
综上，点Q的坐标为：（0，3$\sqrt{3}$）、（0，3）、（0，12）、（0，4$\sqrt{3}$）．
故答案为：（0，3$\sqrt{3}$）、（0，3）、（0，12）、（0，4$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查了反比例函数的综合题．注意反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上的点满足其解析式；利用含30°的直角三角形三边的关系可简化计算；运用分类讨论的思想使解题更加完整．