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【题目】如图,在一张矩形纸片中,,点分别在 上,将纸片沿直线折叠,点落在上的一点处,点落在点处,有以下四个结论:

①四边形是菱形;②平分;③线段的取值范围为;④当点与点重合时,

以上结论中,你认为正确的有(  )个.

A. 1B. 2C. 3D. 4

【答案】C

【解析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明,判断出①正确;

②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=ECH,然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,判断出②错误;

③点H与点A重合时,设BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值,点G与点D重合时,CF=CD,求出最大值BF=4,然后写出BF的取值范围,判断出③正确;

④过点FFMADM,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判断出④正确.

解:

①∵FHCGEHCF都是矩形ABCD的对边ADBC的一部分,

FHCGEHCF

∴四边形CFHE是平行四边形,

由翻折的性质得,CF=FH

∴四边形CFHE是菱形,(故①正确);

②∴∠BCH=ECH

∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,(故②错误);

③点H与点A重合时,此时BF最小,设BF=x,则AF=FC=8-x

RtABF中,AB2+BF2=AF2

42+x2=8-x2

解得x=3

G与点D重合时,此时BF最大,CF=CD=4

BF=4

∴线段BF的取值范围为3BF4,(故③正确);

过点FFMADM

ME=8-3-3=2

由勾股定理得,

EF===,(故④正确);

综上所述,结论正确的有①③④共3个,

故选C

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