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【题目】已知RtABC,∠BAC90°,点DBC中点,ADACBC4,过AD两点作⊙O,交AB于点E

1)求弦AD的长;

2)如图1,当圆心OAB上且点M是⊙O上一动点,连接DMAB于点N,求当ON等于多少时,三点DEM组成的三角形是等腰三角形?

3)如图2,当圆心O不在AB上且动圆⊙ODB相交于点Q时,过DDHAB(垂足为H)并交⊙O于点P,问:当⊙O变动时DPDQ的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.

【答案】1

2)当ON等于11时,三点DEM组成的三角形是等腰三角形

3)不变,理由见解析

【解析】

1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长;
2)连DEME,易得当EDEM为等腰三角形EDM的两腰,根据垂径定理得推论得OEDM,易得到ADC为等边三角形,得∠CAD=60°,则∠DAO=30°,∠DON=60°,然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=AD=ON=DN=1
MD=MEDE为底边,作DHAE,由于AD=2,∠DAE=30°,得到DH=,∠DEA=60°DE=2,于是OE=DE=2OH=1
又∠M=DAE=30°MD=ME,得到∠MDE=75°,则∠ADM=90°-75°=15°,可得到∠DNO=45°,根据等腰直角三角形的性质得到NH=DH=,则ON=-1
3)连APAQDPAB,得ACDP,则∠PDB=C=60°,再根据圆周角定理得∠PAQ=PDB,∠AQC=P,则∠PAQ=60°,∠CAQ=PAD,易证得AQC≌△APD,得到
DP=CQ,则DP-DQ=CQ-DQ=CD,而ADC为等边三角形,CD=AD=2,即可得到DP-DQ的值.

解:(1)∵∠BAC90°,点DBC中点,BC4

ADBC

2)连DEME,如图,∵DMDE

EDEM为等腰三角形EDM的两腰,

OEDM

又∵ADAC

∴△ADC为等边三角形,

∴∠CAD60°

∴∠DAO30°

∴∠DON60°

RtADN中,DNAD

RtODN中,ONDN1

∴当ON等于1时,三点DEM组成的三角形是等腰三角形;

MDMEDE为底边,如图3,作DHAE

AD2,∠DAE30°

DH,∠DEA60°DE2

∴△ODE为等边三角形,

OEDE2OH1

∵∠M=∠DAE30°

MDME

∴∠MDE75°

∴∠ADM90°75°15°

∴∠DNO45°

∴△NDH为等腰直角三角形,

NHDH

ON1

综上所述,当ON等于11时,三点DEM组成的三角形是等腰三角形;

3)当⊙O变动时DPDQ的值不变,DPDQ2.理由如下:

APAQ,如图2

∵∠C=∠CAD60°

DPAB

ACDP

∴∠PDB=∠C60°

又∵∠PAQ=∠PDB

∴∠PAQ60°

∴∠CAQ=∠PAD

ACAD,∠AQC=∠P

∴△AQC≌△APD

DPCQ

DPDQCQDQCD2

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1)用含m的代数式表示点P的坐标.

2)求dm之间的函数关系式.

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(3)设AEm

①△AGH的面积S有变化吗?如果变化.请求出Sm的函数关系式;如果不变化,请求出定值.

②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.

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解答下列问题:

(1)图中“其他”所在扇形的圆心角度数为

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①四边形是菱形;②平分;③线段的取值范围为;④当点与点重合时,

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A. 1B. 2C. 3D. 4

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x

1

0

1

3

y

1

3

5

3

有下列结论:

ac0

②当x1时,y的值随x值的增大而减小;

x3是方程ax2+b1x+c0的一个根;

④当﹣1x3时,ax2+b1x+c0

小明从中任意选取一个结论,则选中正确结论的概率为(

A. 1B. C. D.

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