【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+3x与x轴交于O、A两点,与直线y=x交于O、B两点,点A、B的坐标分别为(3,0)、(2,2).点P在抛物线上,且不与点O、B重合,过点P作y轴的平行线交射线OB于点Q,以PQ为边作R△PQN,点N与点B始终在PQ同侧,且PN=1.设点P的横坐标为m(m>0),PQ长度为d.
(1)用含m的代数式表示点P的坐标.
(2)求d与m之间的函数关系式.
(3)当△PQN是等腰直角三角形时,求m的值.
(4)直接写出△PQN的边与抛物线有两个交点时m的取值范围.
【答案】(1)P(m,﹣m2+3m);(2)①当0<m<2时,d=﹣m2+2m,②当m>2时,d=m2﹣2m;(3)①当0<m<2时,m1=m2=1.②当m>2时,m1=1+,m2=1﹣(舍);(4)m=1或m>2.
【解析】
(1)把把x=m代入y=﹣x2+3x即可;
(2)分类用两点纵坐标之差即可表示;
(3)由△PQN是等腰直角三角形得出PQ=PN=1,列方程求解即可;
(4)把点P在OB上侧和下侧分类研究即可;
(1)把x=m代入y=﹣x2+3x,y=﹣m2+3m
∴P(m,﹣m2+3m)
(2)①当0<m<2时,
d=﹣m2+3m﹣m=﹣m2+2m,
②当m>2时,
d=m﹣(﹣m2+3m)=m2﹣2m
(3)当△PQN是等腰直角三角形,
∴PQ=PN=1,
①当0<m<2时,
﹣m2+2m=1,
解得m1=m2=1.
②当m>2时,
m2﹣2m=1,
解得m1=1+,m2=1﹣(舍)
(4)m=1或m>2.
当点P在OB上侧时,当△PQN是直角三角形,PN平行于x轴,所以P和N关于对称轴x=对称,又因为PN=1,所以m=1;
当点P在OB下方时,因为点N与点B始终在PQ左侧,所以这时△PQN的边与抛物线始终有两个交点,所以m>2.
所以m=1或m>2.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+8的图象与x轴,y轴分别交于点A,点C,过点A作AB⊥x轴,垂足为点A,过点C作CB⊥y轴,垂足为点C,两条垂线相交于点B.
(1)线段AB,BC,AC的长分别为AB= ,BC= ,AC= ;
(2)折叠图1中的△ABC,使点A与点C重合,再将折叠后的图形展开,折痕DE交AB于点D,交AC于点E,连接CD,如图2.
请从下列A、B两题中任选一题作答,我选择 题.
A:①求线段AD的长;
②在y轴上,是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出符合条件的所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
B:①求线段DE的长;
②在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得以点A,P,C为顶点的三角形与△ABC全等?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为,
(1)求直线的函数解析式;
(2)如图2,点在线段(不包括,两点)上,连接与轴交于点,连接.、的垂直平分线交于点,连接并延长到点,使,作轴于,连结.求证:;
(3)在(2)的条件下,当的边时,求点的坐标.
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【题目】某校为市体校选拔一名篮球队员教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试,每人每次投10个球,下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数.
请你根据图中的数据,填写下表
姓名 | 平均分 | 众数 | 极差 | 方差 |
王亮 | 7 | 7 | ______ | |
李刚 | 7 | ______ | 5 | ______ |
你认为谁的成绩比较稳定,为什么?
若你是教练,你打算选谁参赛?请利用以上数据或图中信息简要说明理由.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点,且B点的坐标为(3,0),经过A点的直线交抛物线于点D (2, 3).
(1)求抛物线的解析式和直线AD的解析式;
(2)过x轴上的点E (a,0) 作直线EF∥AD,交抛物线于点F,是否存在实数a,使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出满足条件的a;如果不存在,请说明理由.
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【题目】已知Rt△ABC,∠BAC=90°,点D是BC中点,AD=AC,BC=4,过A,D两点作⊙O,交AB于点E,
(1)求弦AD的长;
(2)如图1,当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点,连接DM交AB于点N,求当ON等于多少时,三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形?
(3)如图2,当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时,过D作DH⊥AB(垂足为H)并交⊙O于点P,问:当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
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