Question

如图：矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠CAD=15°，则矩形ABCD的面积S=______cm²．

Answer 1

如图：取∠DCE=60°，CE交AD于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，
∵∠CAD=15°，
∴∠ACD=75°，
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=75°-60°=15°，
∴∠ACE=∠CAD，
∴AE=CE，∠DEC=∠EAC+∠ECA=30°，
在Rt△DCE中，EC=2DC，
DE=

DC

tan∠DEC

=

DC

tan30°

=

3

DC，
设DC=xcm，则DE=

3

xcm，AE=EC=2xcm，
∴AD=AE+DE=（2+

3

）xcm，
在Rt△ACD中，AD²+CD²=AC²，
∵AC=8cm，
∴[（2+

3

）x]²+x²=64，
解得：x²=32-16

3

，
∴矩形ABCD的面积S=AD•CD=（2+

3

）x²=（2+

3

）（32-16

3

）=16（cm²）．
故答案为：16．