Question

如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是　　　　　　．

　

　

Answer 1

　3　．

【考点】三角形中位线定理；等腰直角三角形；圆周角定理．

【专题】压轴题．

【分析】根据中位线定理得到MN的最大时，AC最大，当AC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．

【解答】解：∵点M，N分别是AB，BC的中点，

∴MN=AC，

∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，

当AC时直径时，最大，

如图，

∵∠ACB=∠D=45°，AB=6，

∴AD=6，

∴MN=AD=3

故答案为：3．

【点评】本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．