Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，C．E在半圆O上，CD⊥AB于点D，且CD＝．

（1）如图1．若点C是的中点，求AE的长；

（2）如图2，若∠B＝30°，连接CE，点P为CE中点，连接DP，交AE于点F，记以C为圆心，CP为半径的圆为⊙C．探究AE与⊙C的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE＝2；（2）AE与⊙C相切，理由见解析．

【解析】

(1)连接OC，交AE于点F，由点C是的中点，根据垂径定理可得，得OC⊥AE，，依据AAS证明△AFO≌△CDO，即可求得AE的长；

(2)根据点P为CE中点，得CP=CE，由同弧所对圆周角相等得∠E=∠B=30°，作CG⊥AE于G，依据含有30度的直角三角形的性质得到CG= CE，从而CP=CG，即可证明AE与⊙C相切．

解：（1）如图1，

连接OC，交AE于点F，

点C是的中点，
，2，
，
，
，
在和中，

≌，
，
；

（2）AE与⊙C相切，理由如下：

如图2，作CG⊥AE于G，则，

∵点P为CE中点，

，

∵,
，
又∵,

∴，

∴CG＝CP，

∴以C为圆心，CP为半径的圆为⊙C与AE相切．

所以AE与⊙C相切．