Question

【题目】如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C对称轴为直线x=1．直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，则下列结论：

①2a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③x（ax+b）≤a+b；④a＜﹣1．

其中正确的有（　　）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

Answer 1

【答案】A

【解析】利用抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，利用对称轴方程得到b=﹣2a，则2a+b+c=c＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，则当x=﹣1时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数的性质得到x=1时，二次函数有最大值，则ax2+bx+c≤a+b+c，于是可对③进行判断；由于直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，利用函数图象得x=3时，一次函数值比二次函数值大，即9a+3b+c＜﹣3+c，然后把b=﹣2a代入解a的不等式，则可对④进行判断．

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，

∴c＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，

∴b=﹣2a，

∴2a+b+c=2a﹣2a+c=c＞0，所以①正确；

∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）左侧，

而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）右侧，

∴当x=﹣1时，y＜0，

∴a﹣b+c＜0，所以②正确；

∵x=1时，二次函数有最大值，

∴ax2+bx+c≤a+b+c，

∴ax2+bx≤a+b，所以③正确；

∵直线y=﹣x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于C、D两点，D点在x轴下方且横坐标小于3，

∴x=3时，一次函数值比二次函数值大，

即9a+3b+c＜﹣3+c，

而b=﹣2a，

∴9a﹣6a＜﹣3，解得a＜﹣1，所以④正确，

故选A．