【题目】如图,在正方形ABCD中,M、N分别是射线CB和射线DC上的动点,且始终∠MAN=45°.
(1)如图1,当点M、N分别在线段BC、DC上时,请直接写出线段BM、MN、DN之间的数量关系;
(2)如图2,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,(1)中的结论是否仍然成立,若成立,给予证明,若不成立,写出正确的结论,并证明;
(3)如图3,当点M、N分别在CB、DC的延长线上时,若CN=CD=6,设BD与AM的延长线交于点P,交AN于Q,直接写出AQ、AP的长.
【答案】(1)BM+DN=MN;(2)(1)中的结论不成立,DN﹣BM=MN.理由见解析;(3)AP=AM+PM=3.
【解析】
(1)在MB的延长线上,截取BE=DN,连接AE,则可证明△ABE≌△ADN,得到AE=AN,进一步证明△AEM≌△ANM,得出ME=MN,得出BM+DN=MN;
(2)在DC上截取DF=BM,连接AF,可先证明△ABM≌△ADF,得出AM=AF,进一步证明△MAN≌△FAN,可得到MN=NF,从而可得到DN-BM=MN;
(3)由已知得出DN=12,由勾股定理得出AN===6 ,由平行线得出△ABQ∽△NDQ,得出====,∴=,求出AQ=2 ;由(2)得出DN-BM=MN.设BM=x,则MN=12-x,CM=6+x,在Rt△CMN中,由勾股定理得出方程,解方程得出BM=2,由勾股定理得出AM==,由平行线得出△PBM∽△PDA,得出==,,求出PM= PM=AM=,
得出AP=AM+PM=3.
(1)BM+DN=MN,理由如下:
如图1,在MB的延长线上,截取BE=DN,连接AE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠ABC=∠D=90°,
∴∠ABE=90°=∠D,
在△ABE和△ADN中,,
∴△ABE≌△ADN(SAS),
∴AE=AN,∠EAB=∠NAD,
∴∠EAN=∠BAD=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAM=45°=∠NAM,
在△AEM和△ANM中,,
∴△AEM≌△ANM(SAS),
∴ME=MN,
又∵ME=BE+BM=BM+DN,
∴BM+DN=MN;
故答案为:BM+DN=MN;
(2)(1)中的结论不成立,DN﹣BM=MN.理由如下:
如图2,在DC上截取DF=BM,连接AF,
则∠ABM=90°=∠D,
在△ABM和△ADF中,,
∴△ABM≌△ADF(SAS),
∴AM=AF,∠BAM=∠DAF,
∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°,
即∠MAF=∠BAD=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠MAN=∠FAN=45°,
在△MAN和△FAN中,,
∴△MAN≌△FAN(SAS),
∴MN=NF,
∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM,
∴DN﹣BM=MN.
(3)∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC=AD=CD=6,AD∥BC,AB∥CD,∠ABC=∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠ABM=∠MCN=90°,
∵CN=CD=6,
∴DN=12,
∴AN===6 ,
∵AB∥CD,
∴△ABQ∽△NDQ,
∴====,
∴=,
∴AQ=AN=2 ;
由(2)得:DN﹣BM=MN.
设BM=x,则MN=12﹣x,CM=6+x,
在Rt△CMN中,由勾股定理得:62+(6+x)2=(12﹣x)2,
解得:x=2,
∴BM=2,
∴AM===2,
∵BC∥AD,
∴△PBM∽△PDA,
∴===,
∴PM=AM=,
∴AP=AM+PM=3.
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【题目】如图,抛物线与y轴交于A点,过点A的直线与抛物线交于另一点B,过点B作BC⊥x轴,垂足为点C(3,0).
(1)求直线AB的函数关系式;
(2)动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动,过点P作PN⊥x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N. 设点P移动的时间为t秒,MN的长度为s个单位,求s与t的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O,点C重合的情况),连接CM,BN,当t为何值时,四边形BCMN为平行四边形?问对于所求的t值,平行四边形BCMN是否菱形?请说明理由
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是的中点,则下列结论:①OC∥AE;②EC=BC;③∠DAE=∠ABE;④AC⊥OE,其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】河南省政府为促进农业发展,加快农村建设,计划扶持兴建一批新型钢管装配式大棚,如图1所示线段AB、BD分别为大棚的墙高和跨度,AC表示保温板的长,已知墙高AB为3米,墙面与保温板所成的角∠BAC=150°,在点D处测得A点、C点的仰角分别为9°,15.6°,如图2所示求保温板AC的长是多少米?(精确到0.1米)(参考数据:sin9°≈0.16,cos9°≈0.99,tan9°≈0.16,sin15.6°≈0.27,cos15.6°≈0.96,tan15.6°≈0.28,≈1.73)
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【题目】某学校游戏节活动中,设计了一个有奖转盘游戏,如图,A转盘被分成三个面积相等的扇形,B转盘被分成四个面积相等的扇形,每一个扇形都标有相应的数字,先转动A转盘,记下指针所指区域内的数字,再转动B转盘,记下指针所指区域内的数字(当指针在边界线上时,重新转动转盘,直到指针指向一个区域内为止)
(1)请利用画树状图或列表的方法(只选其中一种),表示出转转盘可能出现的所有结果;
(2)如果将两次转转盘指针所指区域的数据相乘,乘积是无理数时获得一等奖,那么获得一等奖的概率是多少?
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【题目】如图中,,P是斜边AC上一个动点,以即为直径作交BC于点D,与AC的另一个交点E,连接DE.
(1)当时,
①若,求的度数;
②求证;
(2)当,时,
①是含存在点P,使得是等腰三角形,若存在求出所有符合条件的CP的长;
②以D为端点过P作射线DH,作点O关于DE的对称点Q恰好落在内,则CP的取值范围为________.(直接写出结果)
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点D、E分别是边AB、AC上的动点(点D、E不与△ABC的顶点重合),AD和BE交于点F,且∠AFE=∠ABC
(1)求证:△ABD∽△BCE;
(2)设AE=x,ADFD=y,求y关于x的函数关系式,并直接写出x的取值范围;
(3)当△AEF是等腰三角形时,求DF的长度.
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【题目】如图1,抛物线与轴交于,两点,与轴交于点,已知点,且对称轴为直线.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点是第四象限内抛物线上的一点,当的面积最大时,求点的坐标;
(3)如图2,点是抛物线上的一个动点,过点作轴,垂足为.当时,直接写出点的坐标.
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【题目】宏远商贸公司有A、B两种型号的商品需运出,这两种商品的体积和质量分别如下表所示:
体积(m3/件) | 质量(吨/件) | |
A型商品 | 0.8 | 0.5 |
B型商品 | 2 | 1 |
(1)已知一批商品有A、B两种型号,体积一共是20m3,质量一共是10.5吨,求A、B两种型号商品各有几件?
(2)物流公司现有可供使用的货车每辆额定载重3.5吨,容积为6m3,其收费方式有以下两种:
①按车收费:每辆车运输货物到目的地收费600元;
②按吨收费:每吨货物运输到目的地收费200元.
要将(1)中的商品一次或分批运输到目的地,宏远商贸公司应如何选择运送、付费方式运费最少并求出该方式下的运费是多少元?
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