Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E．过点D作DF⊥AC，垂足为F．

（1）求证：DF为⊙O的切线；

（2）若AB＝4，∠C＝30°，求劣弧的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】（1）连接AD、OD，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，然后根据等腰三角形的性质求出BD=CD，再根据中位线的性质求出OD⊥DF，进而根据切线的判定证明即可；

（2）连接OE，根据三角形的外角求出∠BAE的度数，然后根据圆周角定理求出∠BOE的度数，根据弧长公式求解即可.

（1）连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°．

∵AB＝AC，∴BD＝CD，

又∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF

即∠ODF＝90°．∴DF为⊙O的切线；

（2）连接OE．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAE＝60°，

∵∠BOE＝2∠BAE，∴∠BOE＝120°，

∴＝·4π＝π．