Question

【题目】如图，抛物线经过点A(1，0)，B(5，0)，C(0，)三点，顶点为D，设点E(x，y)是抛物线上一动点，且在x轴下方．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E(x，y)运动时，试求三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？

（3）在y轴上确定一点M，使点M到D、B两点距离之和d＝MD+MB最小，求点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣4x+；（2）S＝﹣（x﹣3）2+（1＜x＜5），当x＝3时，S有最大值；（3）(0，﹣)

【解析】

（1）设出解析式，由待定系数法可得出结论；

（2）点E在抛物线上，用x去表示y，结合三角形面积公式即可得出三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式，再由E点在x轴下方，得出1＜x＜5，将三角形OEB的面积S与x之间的函数关系式配方，即可得出最值；

（3）找出D点关于y轴对称的对称点D′，结合三角形内两边之和大于第三边，即可确定当MD+MB最小时M点的坐标．

解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则

，解得：．

故抛物线解析式为y＝x2﹣4x+．

（2）过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，如图1所示．

E点坐标为(x，x2﹣4x+)，F点的坐标为(x，0)，

∴EF＝0﹣(x2﹣4x+)＝﹣x2+4x﹣．

∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，

∴1＜x＜5．

三角形OEB的面积S＝OBEF＝×5×(﹣x2+4x﹣)＝﹣(x﹣3)2+(1＜x＜5＝．

当x＝3时，S有最大值．

（3）作点D关于y轴的对称点D′，连接BD′，如图2所示．

∵抛物线解析式为y＝x2﹣4x+＝(x﹣3)2﹣，

∴D点的坐标为(3，﹣)，

∴D′点的坐标为(﹣3，﹣)．

由对称的特性可知，MD＝MD′，

∴MB+MD＝MB+MD′，

当B、M、D′三点共线时，MB+MD′最小．

设直线BD′的解析式为y＝kx+b，则

，解得：，

∴直线BD′的解析式为y＝x﹣．

当x＝0时，y＝﹣，

∴点M的坐标为(0，﹣)．