Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，己知点，点在轴上，并且，动点在过三点的拋物线上．

（1）求抛物线的解析式．

（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于点，交抛物线于点，求当线段的长有最大值时的坐标．并求出最大值是多少．

（3）在轴上是否存在点，使得△是等腰三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，最大值为4，此时的坐标为；（3）存在，或或或

【解析】

（1）先确定A（4，0），B（-1，0），再设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C点坐标代入求出a即可；

（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，易得直线AC的解析式为y=-x+4，设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），再用x表示出PD，然后根据二次函数的性质解决问题；

（3）先计算出AC=4，再分类讨论：当QA=QC时，易得Q（0，0）；当CQ=CA时，利用点Q与点A关于y轴对称得到Q点坐标；当AQ=AC=4时可直接写出Q点的坐标．

（1）∵C（0，4），

∴OC=4，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=4，OB=1，

∴A（4，0），B（-1，0），

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），

把C（0，4）代入得a×1×（-4）=4，解得a=-1，

∴抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4），

即y=-x2+3x+4；

（2）作PE⊥x轴，交AC于D，垂足为E，如图，

设直线AC的解析式为：y=kx+b，

∵A（4，0），C（0，4）

∴

解得，

∴直线AC的解析式为y=-x+4，

设P（x，-x2+3x+4）（0＜x＜4），则D（x，-x+4），

∴PD=-x2+3x+4-（-x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4，

当x=2时，PD有最大值，最大值为4，此时P点坐标为（2，6）；

（3）存在．

∵OA=OC=4，

∴AC=4，

∴当QA=QC时，Q点在原点，即Q（0，0）；

当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q（-4，0）；

当AQ=AC=4时，Q点的坐标（4+4，0）或（4-4，0），

综上所述，Q点的坐标为（0，0）或（-4，0）或（4+4，0）或（4-4，0）．