Question

【题目】（1）问题发现：如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是　 　，位置关系是　 　；

（2）探究证明：如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC的延长线上时，连接EC，写出此时线段AD，BD，CD之间的等量关系，并证明；

（3）拓展延仲：如图3，在四边形ABCF中，∠ABC＝∠ACB＝∠AFC＝45°．若BF＝13，CF＝5，请直接写出AF的长．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）2AD2＝BD2+CD2，理由详见解析；（3）.

【解析】

（1）证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答；

（2）证明△BAD≌△CAE，得到BD=CE，根据勾股定理计算即可；

（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△BAF≌△CAG，得到CG＝BF＝13，证明是直角三角形，根据勾股定理计算即可.

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝90°，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∵ ，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，

∵∠ACB＝45°，

∴，

故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；

（2）2AD2＝BD2+CD2，理由是：如图2，

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD和△ACE中，

∵，

∵△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，

∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，

∴DE2＝CE2+CD2，

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，

∴，

∴2AD2＝BD2+CD2；

（3）如图3，将AF绕点A逆时针旋转90°至AG，连接CG、FG，

则△FAG是等腰直角三角形，

∴∠AFG＝45°，

∵∠AFC＝45°，

∴∠GFC＝90°，

同理得：△BAF≌△CAG，

∴CG＝BF＝13，

Rt△CGF中，∵CF＝5，

∴FG＝12，

∵△FAG是等腰直角三角形，

∴．