Question

【题目】如图1，P（m，n）在抛物线y=ax2-4ax（a＞0）上，E为抛物线的顶点．

（1）求点E的坐标（用含a的式子表示）；

（2）若点P在第一象限，线段OP交抛物线的对称轴于点C，过抛物线的顶点E作x轴的平行线DE，过点P作x轴的垂线交DE于点D，连接CD，求证：CD∥OE；

（3）如图2，当a=1，且将图1中的抛物线向上平移3个单位，与x轴交于A、B两点，平移后的抛物线的顶点为Q，P是其x轴上方的对称轴上的动点，直线AP交抛物线于另一点D，分别过Q、D作x轴、y轴的平行线交于点E，且∠EPQ=2∠APQ，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) E（2，﹣4a）；(2)见解析;(3) P（2，+1）．

【解析】

（1）将原式提取公因式然后化简即可解答

（2）设直线OE的解析式为：y＝k x，把E点代入可得直线OE的解析式为：y＝﹣2ax，由P（m，n）得直线OP的解析式为：y＝，得到C（2，），然后设直线CD的解析式为：y＝kx+b，得到：k＝﹣2a，即可解答

（3）当a＝1时，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x，向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，然后设P（2，t），可得AP的解析式为：y＝tx﹣t，D（3+t，t2+2t），Q（2，﹣1），E（3+t，﹣1），再设PE交x轴于F，即可解答

解：（1）y＝ax2﹣4ax＝a（x2﹣4x+4﹣4）＝a（x﹣2）2﹣4a，

∴E（2，﹣4a）；

（2）设直线OE的解析式为：y＝kx，

把E（2，﹣4a）代入得：2k＝﹣4a，

k＝﹣2a，

∴直线OE的解析式为：y＝﹣2ax，

由P（m，n）得直线OP的解析式为：y＝ ，

∴当x＝2时，y＝ ，即C（2，），

∵D（m，﹣4a），

设直线CD的解析式为：y＝kx+b，

将点D和C的坐标代入得： （n＝am2﹣4am），

解得：k＝﹣2a，

根据两直线系数相等，

∴OE∥CD；

（3）如图2，当a＝1时，抛物线解析式为：y＝x2﹣4x，

向上平移3个单位得新的抛物线解析式为：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，

∴Q（2，﹣1），A（1，0），B（3，0），

设P（2，t），

可得AP的解析式为：y＝tx﹣t，

联立方程组为： ，解得： ， ，

∴D（3+t，t2+2t），

∵Q（2，﹣1），

∴E（3+t，﹣1），

∴PQ＝QE＝t+1，

∴∠EPQ＝45°，

∵∠EPQ＝2∠APQ，

∴∠APQ＝22.5°，

设PE交x轴于F，

∵∠DEP＝45°，

∴ME＝FM＝1，

∴∠FPA＝∠PAF＝67.5°，

∴PF＝AF＝t+1，

∵FP＝ t，

∴ t＝t+1，

t＝ ＝ +1，

∴P（2， +1）．