Question

【题目】现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，

（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．

（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．

（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）y＝x﹣2，y=x2++1；（2）a＜；（3）m＜﹣2或m＞0．

【解析】

（1）直接将点代入函数解析式，用待定系数法即可求解函数解析式；

（2）点（2，0）代入一次函数解析式，得到n＝2m，利用m与n的关系能求出二次函数对称轴x＝1，由一次函数经过一、三象限可得m＞0，确定二次函数开口向上，此时当 y1＞y2，只需让a到对称轴的距离比a＋1到对称轴的距离大即可求a的范围．

（3）将A（h，k）分别代入两个二次函数解析式，再结合对称抽得h＝，将得到的三个关系联立即可得到，再由题中已知1＜h＜1，利用h的范围求出m的范围．

（1）将点（2，0），（3，1），代入一次函数y＝mx+n中，

，

解得，

∴一次函数的解析式是y＝x﹣2，

再将点（2，0），（3，1），代入二次函数y＝mx2+nx+1，

，

解得，

∴二次函数的解析式是．

（2）∵一次函数y＝mx+n经过点（2，0），

∴n＝﹣2m，

∵二次函数y＝mx2+nx+1的对称轴是x＝，

∴对称轴为x＝1，

又∵一次函数y＝mx+n图象经过第一、三象限，

∴m＞0，

∵y1＞y2，

∴1﹣a＞1+a﹣1，

∴a＜．

（3）∵y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k），

∴k＝mh2+nh+1，且h＝，

又∵二次函数y＝x2+x+1也经过A点，

∴k＝h2+h+1，

∴mh2+nh+1＝h2+h+1，

∴，

又∵﹣1＜h＜1，

∴m＜﹣2或m＞0．