【题目】已知,如图所示,在矩形ABCD中,点E在BC边上,△AEF=90°
(1)如图①,已知点F在CD边上,AD=AE=5,AB=4,求DF的长;
(2)如图②,已知AE=EF,G为AF的中点,试探究线段AB,BE,BG的数量关系;
(3)如图③,点E在矩形ABCD的BC边的延长线上,AE与BG相交于O点,其他条件与(2)保持不变,AD=5,AB=4,CE=1,求△AOG的面积.
【答案】(1);(2)AB+BE=BG.理由见解析;(3)
【解析】
(1)根据矩形性质求出AE,运用勾股定理求BE,EC,再证Rt△AEF≌Rt△ADF(HL),在Rt△CEF中,由勾股定理得结果;(2)作FM⊥BC交BC的延长线于M,作GN⊥BC于N,连接GM,△ABE≌△EMF(AAS),得AB=EM,BE=FM,证点N为BM的中点,GN=(AB+FM),再解直角三角形可得;(3)连接EG,作OP⊥BE于P,作OQ⊥AG于Q,根据矩形性质,证出等腰直角三角形,再解直角三角形,求出关键线段长度,再求面积.
(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=∠D=90°,CD=AB=4,
∵AD=AE,AD=5,
∴AE=5,
在Rt△ABE中,由勾股定理得,BE==3,
∴EC=2,
在Rt△AEF和Rt△ADF中,,
∴Rt△AEF≌Rt△ADF(HL),
∴EF=DF,
设DF=EF=x,则CF=4﹣x,
在Rt△CEF中,由勾股定理得:22+(4﹣x)2=x2,
解得:x=,
即DF的长为;
(2)AB+BE=BG.理由如下:
作FM⊥BC交BC的延长线于M,作GN⊥BC于N,连接GM,如图②所示:
在△ABE和△EMF中,,
∴△ABE≌△EMF(AAS)
∴AB=EM,BE=FM,
∵AB⊥BC,FM⊥BC,GN⊥BC,
∴AB∥GN∥FM,又点G为AF的中点,
∴点N为BM的中点,GN=(AB+FM),
∴GN=BM,
∴GB=GN,∠BGM=90°,
∴BM=BG,
∴AB+BE=BG.
(3)连接EG,作OP⊥BE于P,作OQ⊥AG于Q,如图③所示:
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC=AD=5,∠ABC=90°,
∴BE=BC+CE=6,
∴AE=
∵△AEF是等腰直角三角形,G是AF的中点,
∴∠GAE=45°,EG⊥AF,
∴△AGE是等腰直角三角形,∠AGE=90°,
∴AE=AG,
∴AG=,
∵∠ABE=90°,
∴∠ABE+∠AGE=180°,
∴A、B、E、G四点共圆,
∴∠GBE=∠GAE=45°,
∴△OBP是等腰直角三角形,
∴OP=BP,
设OP=BP=x,
∵tan∠AEB=,
即,
∴PE=x,
∵BP+PE=BE=6,
∴x+x=6,
解得:x=,
∴OP=,
∴OE=,
∴AO=AE﹣OE=,
在Rt△AOQ中,∠OAQ=45°,
∴OQ=,
∴△AOG的面积=.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,连接DE.过点A作AF⊥DE,垂足为F,⊙O经过点C、D、F,与AD相交于点G.
(1)求证:△AFG∽△DFC;
(2)若正方形ABCD的边长为4,AE=1,求⊙O的半径.
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【题目】爸爸想送小明一个书包和一辆自行车作为新年礼物,在甲、乙两商场都发现同款的自行车单价相同,书包单价也相同,自行车和书包单价之和为452元,且自行车的单价比书包的单价4倍少8元.
(1)求自行车和书包单价各为多少元;
(2)新年来临赶上商家促销,乙商场所有商品打八五折(即8.5折)销售,甲全场购物毎满100元返购物券30元(即不足100元不返券,满100元送30元购物券,满200元送60元购物券),并可当场用于购物,购物券全场通用.但爸爸只带了400元钱,如果他只在同一家商场购买看中的两样物品,在哪一家买更省钱?
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【题目】我市某高科技公司生产一种矩形新型材料板,其长宽之比为 3∶2,每张材料板的成本 c与它的面积成正比例。每张材料板的销售价格 y与其宽 x 之间满足我们学习过的某种函数关系(即一次函数、反比例函数和二次函数关系中的一种),下表记录了该工厂生产、销售该材料板一些数据:
(1)求一张材料板的销售格 y 其宽 x 之间的函数关系式 (不必写出自变的取值范围)
(2)若一张材料板的利润 w 为销售价格 y与成本 c 的差
①请直接写出一张材料板的利润 w 其宽 x 之间的函数关系 (不必写出自变的取值范围)
②当材料板的宽为多少时,一张材料板的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,给出以下结论:①abc<0 ②b2﹣4ac>0 ③4b+c<0 ④若B(﹣,y1)、C(﹣,y2)为函数图象上的两点,则y1>y2⑤当﹣3≤x≤1时,y≥0,
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)__________________.
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【题目】某校九年级八个班共有280名学生,男女生人数大致相同,调查小组为调查学生的体质健康水平,开展了一次调查研究,请将下面的过程补全.
收集数据:
(1)调查小组计划选取40名学生的体质健康测试成绩作为样本,下面的取样方法中,合理的是___________(填字母);
A.抽取九年级1班、2班各20名学生的体质健康测试成绩组成样本
B.抽取各班体育成绩较好的学生共40名学生的体质健康测试成绩组成样本
C.从年级中按学号随机选取男女生各20名学生学生的体质健康测试成绩组成样本
整理、描述数据:
抽样方法确定后,调查小组获得了40名学生的体质健康测试成绩如下:
77 83 80 64 86 90 75 92 83 81
85 86 88 62 65 86 97 96 82 73
86 84 89 86 92 73 57 77 87 82
91 81 86 71 53 72 90 76 68 78
整理数据,如下表所示:
2018年九年级部分学生学生的体质健康测试成绩统计表
1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 5 | 5 | 2 |
分析数据、得出结论
调查小组将统计后的数据与去年同期九年级的学生的体质健康测试成绩(直方图)进行了对比,
(2)你能从中得到的结论是_____________,你的理由是________________________________.
(3)体育老师计划根据2018年的统计数据安排75分以下的同学参加体质加强训练项目,则全年级约有________名同学参加此项目.
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【题目】2019年4月22日是第50个世界地球日,某校在八年级5个班中,每班各选拔10名学生参加“环保知识竞赛”并评出了一、二、三等奖各若干名,学校将获奖情况绘成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图,请你根据图中信息解答下列问题:
(1)求本次竞赛获奖的总人数,并补全条形统计图;
(2)求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数;
(3)如果该校八年级有800人,请你估计获奖的同学共有多少人?
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【题目】若数a使关于x的不等式组至少有3个整数解,且使关于y的分式方程=2有非负整数解,则满足条件的所有整数a的和是( )
A. 14B. 15C. 23D. 24
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【题目】现有一次函数y=mx+n和二次函数y=mx2+nx+1,其中m≠0,
(1)若二次函数y=mx2+nx+1经过点(2,0),(3,1),试分别求出两个函数的解析式.
(2)若一次函数y=mx+n经过点(2,0),且图象经过第一、三象限.二次函数y=mx2+nx+1经过点(a,y1)和(a+1,y2),且y1>y2,请求出a的取值范围.
(3)若二次函数y=mx2+nx+1的顶点坐标为A(h,k)(h≠0),同时二次函数y=x2+x+1也经过A点,已知﹣1<h<1,请求出m的取值范围.
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