Question

【题目】如图，已知点C（0，3），抛物线的顶点为A（2，0），与y轴交于点B（0，1），F在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线CF于点H，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在直线CF下方的抛物线上，用含m的代数式表示线段PH的长，并求出线段PH的最大值及此时点P的坐标；

（3）当PF﹣PM＝1时，若将“使△PCF面积为2”的点P记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使△PCF的周长最小的点P也是一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出△PCF的周长最小时“巧点”的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1；（2）m＝0时，PH的值最大最大值为2，P（0，2）；（3）△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，将点B的坐标代入求得a的值即可；

（2）求出直线CF的解析式，求出点P、H的坐标，构建二次函数即可解决问题；

（3）据三角形的面积公式求得点P到CF的距离，过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）或（1，4），过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入求得直线GH的解析式，将直线GH的解析式与抛物线的解析式，联立可得到点P的坐标，当PC+PF最小时，△PCF的周长最小，由PF﹣PM＝1可得到PC+PF＝PC+PM+1，故此当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小，然后可求得此时点P的坐标；

解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，

将点B的坐标代入得：4a＝1，解得a＝，

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2，即y＝x2﹣x+1．

（2）设CF的解析式为y＝kx+3，将点F的坐标F（2，1）代入得：2k+3＝1，解得k＝﹣1，

∴直线CF的解析式为y＝﹣x+3，

由题意P（m，m2﹣m+1），H（m，﹣m+3），

∴PH＝﹣m2+2，

∴m＝0时，PH的值最大最大值为2，此时P（0，2）．

（3）由两点间的距离公式可知：CF＝2．

设△PCF中，边CF的上的高线长为x．则×2x＝2，解得x＝．

过点C作CG⊥CF，取CG＝．则点G的坐标为（﹣1，2）．

过点G作GH∥FC，设GH的解析式为y＝﹣x+b，将点G的坐标代入得：1+b＝2，解得b＝1，

∴直线GH的解析式为y＝﹣x+1，

与 y＝（x﹣2）2联立 解得：，

所以△PCF的一个巧点的坐标为（0，1）．

显然，直线GH在CF的另一侧时，直线GH与抛物线有两个交点．

∵FC为定点，

∴CF的长度不变，

∴当PC+PF最小时，△PCF的周长最小．

∵PF﹣PM＝1，

∴PC+PF＝PC+PM+1，

∴当C、P、M在一条直线上时，△PCF的周长最小．

∴此时P（0，1）．

综上所述，△PCF的巧点有3个，△PCF的周长最小时，“巧点”的坐标为（0，1）．