Question

【题目】如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．

（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；

（2）填空：

①若AB＝2，则△AOE的最大面积为　 ；

②当DA与⊙O相切时，若AB＝，则AC的长为　 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①S△AOE最大＝；②AC＝1.

【解析】

（1）利用垂直平分线，判断出∠BAC＝∠DAC，得出EC＝BC，用SSS判断出结论；

（2）①先判断出三角形AOE面积最大，只有点E到直径AB的距离最大，即是圆的半径即可；②根据切线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．

（1）连接AC，如图1，

∵AB是⊙O的直径，

∴AC⊥BD，

∵AD＝AB，

∴∠BAC＝∠DAC，

∴，

∴BC＝EC，

在△OBC和△OEC中，

∴△OBC≌△OEC（SSS），

（2）①∵AB是⊙O的直径，且AB＝2，

∴OA＝1，

设△AOE的边OA上的高为h，

∴S△AOE＝OA×h＝×1×h＝h，

∴要使S△AOE最大，只有h最大，

∵点E在⊙O上，

∴h最大是半径，

即h最大＝1

∴S△AOE最大＝，

故答案为；

②如图2：

当DA与⊙O相切时，

∴∠DAB＝90°，

∵AD＝AB＝，

∴∠ABD＝45°，

∵AB是直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AC＝BC＝，

故答案为1