Question

【题目】△ABC和△EFG是两块完全重合的等边三角形纸片，(如图①所示)O是AB(或EF)的中点，△ABC不动，将△EFG绕O点顺时针转α﹝0°＜α＜120°﹞角．

（1）试分别说明α为多少度时，点F在△ABC外部、BC上、内部（不证明）？

（2）当点F不在BC上时，在图②、图③两种情况下（设EF或延长线与BC交于P，EG与CA或延长线交于Q），分别写出OP与OQ的数量关系，并将图③情况给予说明．

Answer 1

【答案】（1）当0°＜α＜60°，点F在△ABC的外部；当α＝60°，点F在BC的中点；当60°＜α＜120°，点F在△ABC的内部；（2）两种情况下均有OP＝OQ；证明见解析

【解析】

（1）按照α＝60°，0＜α＜60°，60°＜α＜120°分类说明；
（2）利用ASA，寻找证明三角形全等的条件．

解：（1）当α=60°时，如图④，

∵∠COF=60°，O为AC，EF的中点，

∴OF=OC，

∴△COF是等边三角形，

∴∠OCF=∠ACB=60°，

∴点F在BC边上，

当α=120°时，如图⑤，则∠AOF=60°，

∵O为AC，EF的中点，

∴OF=AO，

∴△AOF为等边三角形，

∴∠OAF=∠CAB=60°，

∴点F在AB边上，

∴当0°＜α＜60°，点F在△ABC的外部，
当α＝60°，点F在BC的中点，
当60°＜α＜120°，点F在△ABC的内部；

（2）两种情况下均有OP＝OQ；
证明：如图③，由题意可知：∠E＝∠C＝60°，OE＝OC＝AC，∠EOQ＝∠COP，
∴△EOQ≌△COP（ASA），
∴OP＝OQ．