Question

【题目】(1)如图1,△ABC和△CDE均为等边三角形，直线AD和直线BE交于点F.

①求证： AD=BE:

②求∠AFB的度数．

(2)如图2, △ABC和△CDE均为等腰直角三角形，∠ABC= ∠DEC=90°,直线AD和直线BE交于点F.

①求证： AD= BE:;

②若AB=BC=3, DE=EC= 2,将△CDE绕着点C在平面内旋转，当点D落在线段BC上时，在图3中画出图形，并求BF的长度.

Answer 1

【答案】(1)①见解析；②∠AFB＝60°；(2)①见解析；②BF＝．

【解析】

（1）证明△ACD≌△BCE（SAS），即可解决问题.

（2）①根据∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，可知∠ACB＝∠DCE＝45°，∠ACD＝∠BCE，可证△ACD∽△BCE，可知，

②当点D落在线段BC上时，证明△ACD∽△BCE．再证明△BDF∽△BEC，可得，

即可计算出.

(1)①∵△ABC和△CDE均为等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．

∴∠ACD＝∠BCE．

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBF．

②如图(1)设BC交AF于点G．

∵∠AGC＝∠BGF，∠CAD＝∠CBF，

∴∠BFG＝∠ACG＝60°．

即∠AFB＝60°．

(2)①∵∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，

∴∠ACB＝∠DCE＝45°， ．

∴∠ACD＝∠BCE．

∵

∴△ACD∽△BCE．

∴ ．

∴ ．

②当点D落在线段BC上时，

如图所示

则，．

过点E作EH⊥BC于点H，

则，．

∴．

∵∠ACD＝∠BCE＝45°， ．

∴△ACD∽△BCE．

∴∠CAD＝∠CBE．

又∵∠ADC＝∠BDF，

∴∠BFD＝∠ACD＝45°．

∴∠BFD＝∠BCE＝45°．

又∵∠DBF＝∠EBC，

∴△BDF∽△BEC．

∴ ．

∴ ．

∴．