Question

【题目】如图，在三角形ABC中，AB＝10，AC＝BC＝13，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线DF⊥AC，于点F，交CB的延长线于点E．

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）求cos∠ADF的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接OD和CD，根据圆周角定理求出∠BDC＝90°，根据等腰三角形的性质求出AD＝BD，根据三角形的中位线求出OD∥AC，求出OD⊥EF，根据切线的判定得出即可；

（2）根据余角的性质得到∠ADF＝∠ODC，等量代换得到∠ADF＝∠ODC，根据勾股定理得到CD＝12，根据三角函数的定义即可得到结论．

（1）证明：连接OD，CD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，

∵AC＝BC，AB＝10，

∴AD＝BD＝5，

∵O为BC中点，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∵OD过O，

∴直线DF是⊙O的切线；

（2）∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ODF＝90°，

∴∠ADF＝∠ODC，

∴OD＝OC，

∴∠ODC＝∠OCD，

∴∠ADF＝∠ODC，

∵BD＝5，BC＝13，

∴CD＝12，

∴＝＝．