【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与
轴交于点
,
,与
轴交于点
,直线
经过
,
两点.
求抛物线的解析式;
在
上方的抛物线上有一动点
.
①如图,当点
运动到某位置时,以
,
为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上,求出此时点
的坐标;
②如图,过点
,
的直线
交
于点
,若
,求
的值.
【答案】.
①
点的坐标是
;②
.
【解析】
(1)由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标,把A和C的坐标分别代入y=-x2+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式;
(2)①若以AP,AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上,则PQ∥AO,再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标,由(1)中的抛物线解析式,进而可求出其纵坐标,问题得解;
②过P点作PF∥OC交AC于点F,因为PF∥OC,所以△PEF∽△OEC,由相似三角形的性质:对应边的比值相等可求出PF的长,进而可设点点F(x,x+4),利用(-x2-x+4)-(x+4)=
,可求出x的值,解方程求出x的值可得点P的坐标,代入直线y=kx即可求出k的值.
∵直线
经过
,
两点,
∴点坐标是
,点
坐标是
,
又∵抛物线过,
两点,
∴,解得:
,
∴抛物线的解析式为.
①如图
∵,
∴抛物线的对称轴是直线.
∵以,
为邻边的平行四边形的第四个顶点
恰好也在抛物线上,
∴,
.
∵,
都在抛物线上,
∴,
关于直线
对称,
∴点的横坐标是
,
∴当时,
,
∴点的坐标是
;
②过点作
交
于点
,
∵,
∴,
∴.
又∵,
∴,
设点,
∴,
化简得:,解得:
,
.
当时,
;当
时,
,
即点坐标是
或
.
又∵点在直线
上,
∴.
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【题目】如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形(用阴影表示).
(1)在图(a)中,画一个不含直角的三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图(b)中,画一个直角三角形,使它的斜边长为;
(3)在图(c)中,画一个直角三角形,使它的斜边长为5,直角边长都是无理数.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别为A(﹣2,1),B(﹣4,1),C(﹣3,2),D(﹣1,2).
(1)在图中画出四边形ABCD,并求出四边形ABCD的面积;
(2)在图中画出四边形ABCD关于x轴的对称图形A1B1C1D1,并分别写出点A、C的对应点A1、C1的坐标.
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【题目】在中,
,将
绕点
顺时针旋转得到
.
如图
,
________°;
连接
交直线
于点
,直线
交
于点
.
①如图所示,试说明
;
②设,旋转的角度
,当
、
满足什么关系时,
是等腰三角形.
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【题目】将等腰直角三角形ABC(AB=AC,∠BAC=90°)和等腰直角三角形DEF(DE=DF,∠EDF=90°)按图1摆放,点D在BC边的中点上,点A在DE上.
(1)填空:AB与EF的位置关系是 ;
(2)△DEF绕点D按顺时针方向转动至图2所示位置时,DF,DE分别交AB,AC于点P,Q,求证:∠BPD+∠DQC=180°;
(3)如图2,在△DEF绕点D按顺时针方向转动过程中,始终点P不到达A点,△ABC的面积记为S1,四边形APDQ的面积记为S2,那么S1与S2之间是否存在不变的数量关系?若存在,请写出它们之间的数量关系并证明;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB<BC,E为CD边的中点,将△ADE绕点E顺时针旋转180°,点D的对应点为C,点A的对应点为F,过点E作ME⊥AF交BC于点M,连接AM、BD交于点N,现有下列结论:
①AM=AD+MC;②AM=DE+BM;③DE2=ADCM;④点N为△ABM的外心.其中正确的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,D、E分別是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F.若PF=4,PD=1,则AE的长为_____.
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