Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，D、E分別是AC、BC上的点，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若PF＝4，PD＝1，则AE的长为_____．

Answer 1

【答案】9．

【解析】

根据等边三角形的性质可得AC=BC，∠BAD=∠C=60°，然后利用“边角边”证明△ABD和△CAE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠CAE，然后求出∠BPF=∠BAC=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出∠PBF=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC．

∴∠BAC＝∠C．

在△ABD和△CAE中，

，

∴△ABD≌△CAE（SAS）．

∴∠ABD＝∠CAE，BD＝AE，

∴∠APD＝∠ABP+∠PAB＝∠BAC＝60°．

∴∠BPF＝∠APD＝60°．

∵∠BFP＝90°，∠BPF＝60°，

∴∠PBF＝30°．

∴BP＝2PF＝8，

∵PD＝1，

∴BD＝BP+PD＝9，

∴AE＝BD＝9．

故答案为9．