【题目】如图,内接于,且,是的直径,与交于点,在的延长线上,且.
试判断与的位置关系,并说明理由;
若,,求阴影的面积.
【答案】(1)相切,理由见解析;(2).
【解析】
(1)根据等腰三角形性质求出∠FBA=∠EBA=∠C,推出∠D=∠C=∠FBA,根据∠DAB=90°推出∠D+∠DBA=90°,求出∠ABD+∠FBA=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)连接OA,求出∠BOA=60°,求出AB长,求出BD、AD,求出OB,根据三角形的面积求出△ABD面积,即可求出△BAO面积,求出扇形BOA面积,即可求出答案.
解:与的位置关系是相切,
理由是:∵和都对弧,
∴,
∵是直径,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∵(已证),
∴,
∴,
∵是半径,
∴是的切线,
即与的位置关系是相切;
连接,
∵,
∴在中,,,
由勾股定理得,
在中,,
∴,,,
∵在中,,,由勾股定理得:,
又∵,
∴根据等底同高的三角形的面积相等得出,
,
∴.
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【题目】如图,△ABC为等边三角形,D、E分別是AC、BC上的点,且AD=CE,AE与BD相交于点P,BF⊥AE于点F.若PF=4,PD=1,则AE的长为_____.
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【题目】如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C,D两点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于F,则弦AB的长度为________;点E在运动过程中,线段FG的长度的最小值为________.
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【题目】小华同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.
(一)猜测探究
在△ABC中,AB=AC,M是平面内任意一点,将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度,得到线段AN,连接NB.
(1)如图1,若M是线段BC上的任意一点,请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是_______,NB与MC的数量关系是_______;
(2)如图2,点E是AB延长线上点,若M是∠CBE内部射线BD上任意一点,连接MC,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由。
(二)拓展应用
如图3,在△A1B1C1中,A1B1=8,∠A1B1C1=90°,∠C1=30°,P是B1C1上的任意点,连接A1P,将A1P绕点A1按顺时针方向旅转60°,得到线段A1Q,连接B1Q.求线段B1Q长度的最小值.
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【题目】如图所示,在平面直角坐标系中有一格点三角形,该三角形的三个顶点为:A(1,1),B(﹣3,1),C(﹣3,﹣1).
(1)若△ABC的外接圆的圆心为P,则点P的坐标为_____,⊙P的半径为_____;
(2)如图所示,在11×8的网格图内,以坐标原点O点为位似中心,将△ABC按相似比2:1放大,A、B、C的对应点分别为A'、B'、C'.①画出△A'B'C';②将△A'B'C'沿x轴方向平移,需平移_____个单位长度,能使得B'C'所在的直线与⊙P相切.
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【题目】某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;x=75时,y=45.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
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【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.
(1)如图1,若AB=,BE=5,求AE的长;
(2)如图2,点D是线段BE延长线上一点,过点A作AF⊥BD于点F,连接CD、CF,当AF=DF时,求证:DC=BC.
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【题目】已知关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2kx+k+2=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是一元二次方程的两个实数根,且满足=﹣2,求k的值,并求此时方程的解.
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