Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C = 90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接OD，点E在BC上， B E=DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若BC=6，求线段DE的长；

（3）若∠B=30°,AB =8,求阴影部分的面积（结果保留）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3；（3）

【解析】

（1）根据OA=OD，BE=DE，得∠A=∠1，∠B=∠2，根据∠ACB=90°，即可得∠1+∠2=90°，即可得OD⊥DE，从而可证明结论；

（2）连接CD，根据现有条件推出CE是⊙O的切线，再结合DE是⊙O的切线，推出DE＝CE又BE=DE，即可得出DE；

（3）过O作OG⊥AD，垂足为G，根据已知条件推出AD，AG和OG的值，再根据，即可得出答案．

解：（1）证明：∵OA=OD，BE=DE，

∴∠A=∠1，∠B=∠2，

∵△ABC中，∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠ODE=180°-(∠1+∠2)=90°，

∴OD⊥DE，又OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接CD，则∠ADC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，又AC为⊙O的直径，

∴CE是⊙O的切线，又DE是⊙O的切线，

∴DE＝CE又BE=DE，

∴DE＝CE=BE＝；

（3）过O作OG⊥AD，垂足为G，则，

∵Rt△ABC中，∠B=30°，AB=8，

∴AC=，∠Ａ=60°（又OA=OD)，

∴∠COD=120°，△AOD为等边三角形，

∴AD=AO=OD=2，

∴，

∴OG，

∴，

∴阴影部分的面积为．