【题目】如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．
（1）已知抛物线a：
，判断下列抛物线b：
，c：
与已知抛物线a是否为交融抛物线？并说明理由；
（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：绕点P（t，2）旋转180得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；
（3）M为抛物线a：的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使直角顶点S在y轴上？若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线
与抛物线
不是交融抛物线，抛物线与抛物线
是交融抛物线，理由见解析；（2）所求抛物线
的解析式为
或
；（3）存在符合条件的等腰直角三角形，点S的坐标为（0,0）或（0,3）．
【解析】
（1）求出抛物线a的顶点坐标，分别代入抛物线b与抛物线c，判断即可；
（2）先确定抛物线a的顶点M的坐标，作点M关于点P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E、F，可求出N的纵坐标，代入求出N的横坐标，分类讨论即可；
（3）设点S（0，c），则点Q的坐标分两类：①M，Q，S逆时针分布时；②M，Q，S顺时针分布时，分别求解即可．
解：（1）∵抛物线
的顶点坐标为
，
当
时，
，
∴点
不在抛物线上，
∴抛物线与抛物线不是交融抛物线；
∵当时，
，
∴点在抛物线上，
∵抛物线
的顶点
，
当
时，
，
∴点
在抛物线上，
∴抛物线与抛物线是交融抛物线．
（2）抛物线的顶点坐标为．
∵将抛物线a：
绕点P（t，2）旋转180得到抛物线l，抛物线a与l为交融抛物线，作顶点关于点
的对称点，则点N为抛物线l的顶点，
分别过点、作直线
的垂线，垂足为
、
，则
，
∴点的纵坐标为4，
当
时，
，解得
，
，
∴
或
，
当时，设抛物线的解析式为
，
∵点在抛物线上，
∴
，∴
，
∴抛物线的解析式为
；
当时，设抛物线的解析式为
，
∵点在抛物线上，
∴
，∴，
∴抛物线的解析式为
，
∴所求抛物线的解析式为或．
（3）设点
，则分以下两种情况：
①当，
，
逆时针分布时（如图中），
过点作
轴于
，则∠QDS=∠SOM=90°，SM=SQ，∠MSQ=90°，
∴∠OSM+∠DSQ=∠DQS+∠DSQ=90°，∠OSM=∠DQS，
∴
（AAS），
∴
，OM=DS，
∴
，∴点
，
∵点在抛物线上，∴
，
解得
或
，
∴
或
；
②当，，顺时针分布时（如图中
），
同理可得
，
∵点在抛物线上，
∴
，即
，
∵
，∴此方程无解，
综上所述，存在符合条件的等腰直角三角形MQS，此时点S的坐标为（0,0）或（0,3）．
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【题目】为了运送防疫物资，甲、乙两货运公司各派出一辆卡车，分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发，驰援疫区．已知乙公司卡车的平均速度是甲公司卡车的平均速度的1.5倍，甲公司的卡车比乙公司的卡车晚1小时到达目的地，分别求甲、乙两货运公司卡车的平均速度．
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【题目】解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：
魔术师能立刻说出观众想的那个数．
（1）如果小玲想的数是
，请你通过计算帮助她告诉魔术师的结果；
（2）如果小明想了一个数计算后，告诉魔术师结果为85，那么魔术师立刻说出小明想的那个数是：__________；
（3）观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为
，请你按照魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话说出这个魔术的奥妙．
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【题目】如图，点
是边长为
的正方形
的对角线
上的动点，过点分别作
于点
于点
，连接
并延长，交射线
于点
交射线
于点
，连接
交
于点
当点在上运动时(不包括
两点)，以下结论：①
；②
；③
；④的最小值是
．其中正确的是_______．(把你认为正确结论的序号都填上)
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【题目】如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止，设P、Q同时出发t秒时，BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段）所示，则下列结论：①BEBC；②当t6秒时，ABE PQB；③点P运动了18秒；④当t
秒时，ABE∽QBP．其中正确的是（ ）．
A.①②B.①③④C.③④D.①②④
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【题目】A，B，C，D四个地区爆发病毒疫情，它们之间的道路连通情况和距离（单位：km）如图所示，经调查发现，某地区受感染率与相邻地区自发病率和距离有关，具体公式为：
A地受B地的感染率
．已知A地受B地和D地感染率之相邻地区和为9%，D地的自发病率为24%．
（1）求B地的自发病率；
（2）规定某地的危险系数等于该地的自发病率与总受感染率的和．
①若C地危险系数是A地危险系数的两倍，且D地受感染率比B地高5%，求A地的自发病率；
②在①的条件下，A地派出6支医疗队支援B，D两地，每派出1支医疗队，A地自身发病率上升0．75%，每支医疗队可以让被支援的地区的自发病率下降4%．在保证A地危险系数不上升的前提下，A地各派往B，D两地多少支队伍时，B地的自发病率下降最多？
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【题目】如图，在△ABC中，∠C = 90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接OD，点E在BC上， B E=DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若BC=6，求线段DE的长；
（3）若∠B=30°,AB =8,求阴影部分的面积（结果保留
）．
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【题目】如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点（点P不与A，B两点重合），连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP，AE．
（1）求证：直线PQ为⊙O的切线；
（2）若直径AB的长为4．
①当PE＝ 时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝ 时，四边形AEOP为菱形．
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点为A(0，3)，与x轴的交点分别为B(2，0)，C(6，0)．直线AD∥x轴，在x轴上位于点B右侧有一动点E，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E在线段BC上时，求△APC面积的最大值；
（3）是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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