Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点为A(0，3)，与x轴的交点分别为B(2，0)，C(6，0)．直线AD∥x轴，在x轴上位于点B右侧有一动点E，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点E在线段BC上时，求△APC面积的最大值；

（3）是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣2x+3；(2)；(3)存在，(，0)或(，0)或(14，0)

【解析】

(1)按交点式设成抛物线解析式，再将点A坐标代入，即可得出结论；

(2)先利用待定系数法求出直线AC解析式，进而表示出PF，利用三角形的面积公式得出S=﹣(t﹣3)2+，即可得出结论；

(3)①再分2＜t＜8和t＞时，表示出AQ=t，PQ=﹣t2+2t，再分两种情况，利用相似三角形的对应边成比例建立方程求解即可得出结论．

(1)∵抛物线B(2，0)、C(6，0)，

∴设抛物线为：，

把点A(0，3)代入，

得，

∴a，

∴该抛物线解析式为：；

(2)设直线AC的解析式为：，

∴，

解得，

∴直线AC的解析式为：，

设△APC面积为S，

如图，设直线l与AC交点为F，

设P(t，t2﹣2t+3)(2≤t≤6)，则F(t，﹣t+3)，

∴PF=﹣t+3-(t2﹣2t+3)t2+t，

∴St2×6

=﹣2+，

∴当t=3时，S最大值，

即△APC面积的最大值为；

(3)存在点P，

理由：连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，

∵点A、B的坐标分别为(0，3)、(2，0)，

∴AO=3，BO=2，

设点E的坐标为(t，0)(＞2)，

则Q(t，3)，P(t，t2﹣2t+3)，

当t2﹣2t+3=3时，此时，点P，Q重合，即t=0(舍)或t=8，不能构成△APQ，

∴t≠8，

①当2＜t＜8时，AQ=t，PQ=3-(t2﹣2t+3)=﹣t2+2t，

当△AOB∽△AQP时，

∴，

∴，

解得：t=0(舍)或t=，

∴点E的坐标为(，0)，

若△AOB∽△PQA，

则，

∴，

解得：t=0(舍)或t=2(舍)，

②当t＞8时，AQ=t， PQ=t2﹣2t+3-3=t2-2t，

若△AOB∽△AQP，

则∴，

∴，

解得：t=0(舍)或t=，

∴点E的坐标为(，0)，

若△AOB∽△PQA，

则，

即，

解得：t=0(舍)或t=14，

∴点E的坐标为(14，0)，

综上所述，点E的坐标为(，0)或(，0)或(14，0)．