Question

【题目】如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以AC为斜边的等腰直角三角形AEC的边CE，与AD交于点F，连接OE，使得OE=OD．在AD上截取AH=CD，连接EH，ED．

（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

（2）若AB=1，BC=3，求EH的长．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABCD是矩形，理由见解析；（2）．

【解析】

（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得 AO=OC，再根据三角形AEC是等腰直角三角形，得出OE=AO=OC，再根据OE=OD得出OD=OE=OA=OC=OB，从而得出AC=BD，从而得证；

（2）根据AB=1，BC=3,根据AH=CD得AH=1，从而计算HD=2，再根据三角形AEC是等腰直角三角形证明△AEH≌△CED，得出三角形EHD是等腰直角三角形，从而计算EH的长．

（1）四边形ABCD是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OCAC，OB=ODBD．

∵△AEC是等腰直角三角形，

∴OE⊥AC，OEAC=OA．

∵OE=OD，

∴OA=OD，

∴AC=BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）∵平行四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=3，∠ADC=90°，CD=AB=1．

∵AH=CD，

∴AH=1．

∵∠AEC=∠ADC=90°，

∴∠DCF+∠DFC=∠EAF+∠AFE=90°．

∵∠AFE=∠DFC，

∴∠DCF=∠EAF，

在△AEH和△CED中，，

∴△AEH≌△CED(SAS)，

∴EH=ED，∠AEH=∠DEC．

∵∠AEH+∠HEC=∠AEC=90°，

∴∠CED+∠HEC=∠HED=90°，

∴EH2+ED2=DH2，

∴2EH2=DH2，

∴EHDH(AD﹣AH)(3﹣1)．