Question

【题目】如图，矩形ABCD（AB＞AD）中，点M是边DC上的一点，点P是射线CB上的动点，连接AM，AP，且∠DAP＝2∠AMD．

（1）若∠APC＝76°，则∠DAM＝　 　；

（2）猜想∠APC与∠DAM的数量关系为　 　，并进行证明；

（3）如图1，若点M为DC的中点，求证：2AD＝BP+AP；

（4）如图2，当∠AMP＝∠APM时，若CP＝15，＝时，则线段MC的长为　 　．

Answer 1

【答案】（1）38°；（2）∠APC＝2∠DAM，证明见解析；（3）见解析；（4）3．

【解析】

（1）由AD∥CP，∠APC=76°知∠DAP=104°，根据∠DAP=2∠AMD得∠AMD=52°，结合∠D=90°可得；

（2）由AD∥CP知∠DAP+∠APC=180°，结合∠DAP=2∠AMD得2∠AMD+∠APC=180°，再结合∠D=90°知∠AMD=90°﹣∠DAM，即2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°，据此可得；

（3）延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF=AP，连接AF，证△AMD≌△EMC得AD=CE，据此知BE=BC+CE=2AD，再证∠E=∠F得AE=AF，由AB⊥BE知BE=BF，从而由BF=BP+PF=BP+AP可得；

（4）延长MD到点E，使DE=MD，连接AE，作EF⊥MA，设AM=3x，则AD=2x，DM=DEx，AE=AP=3x，证△ADM∽△EFM得，求得EFx，AFx，再证△EAF≌△APB得PB=AFx，再由AD=BC得x+15=2x，求得x的值，从而得出AB的长，根据MC=DC﹣DM=AB﹣DM可得答案．

（1）∵AD∥CP，∠APC=76°，

∴∠DAP=104°．

∵∠DAP=2∠AMD，

∴∠AMD=52°，

又∵∠D=90°，

∴∠DAM=38°．

故答案为：38°；

（2）∠APC=2∠DAM．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=90°，AD∥BC．

∵点P是射线CB上的点，

∴AD∥CP，

∴∠DAP+∠APC=180°．

∵∠DAP=2∠AMD，

∴2∠AMD+∠APC=180°，

在Rt△AMD中，∠D=90°，

∴∠AMD=90°﹣∠DAM，

∴2(90°﹣∠DAM)+∠APC=180°，

∴∠APC=2∠DAM．

故答案为：∠APC=2∠DAM；

（3）如图1，延长AM交BC的延长线于点E，延长BP到F，使PF=AP，连接AF，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，∠ABC=90°，

∴AD∥BE，AB⊥BE，

∴∠DAM=∠E．

∵M是DC中点，

∴DM=CM，

又∵∠1=∠2，

∴△AMD≌△EMC(AAS)，

∴AD=CE，

∴BE=BC+CE=2AD．

∵∠APC=2∠DAM，

∴∠APC=2∠E．

∵PA=PF，

∴∠PAF=∠F，

∴∠APC=2∠F，

∴∠E=∠F，

∴AE=AF，

又∵AB⊥BE，

∴BE=BF，

又∵BF=BP+PF=BP+AP，

∴2AD=BP+AP；

（4）如图2，延长MD到点E，使DE=MD，连接AE，过点E作EF⊥MA于点F，

设AM=3x，则AD=2x，DM=DEx，AE=AP=3x．

∵∠AMD=∠EMF，∠ADM=∠EFM=90°，

∴△ADM∽△EFM，

∴，即，

解得：EFx，

∴AFx．

∵DE=MD，AD⊥CE，

∴∠AME=∠AEM，

则∠EAF=2∠AMD．

∵AD∥BC，∠DAP=2∠AMD，

∴∠APB=∠DAP=2∠AMD，

∴∠EAF=∠APB，

又∵∠EFA=∠B=90°，AE=AP，

∴△EAF≌△APB(AAS)，

∴PB=AFx，

由AD=BC得x+15=2x，

解得：x=9，

∴AB12，

∴MC=DC﹣DM=AB﹣DM==3．

故答案为：3．