Question

12．如图所示，将两个长为2、宽为1的长方形ABCD和CEFD拼在一起，构成一个大的正方形ABEF．现将右侧的小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．
（1）如图，若0°＜α＜90°，求证：BD′=E′D；
（2）先延长CB到H，使BH=BC，再将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周，请你判断在旋转的过程中，△DCD′与△HCD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得∠D′CB=∠DCE′，然后根据“SAS”可判断△BCD′≌△E′CD，则BD′=E′D；
（2）若α=135°，则∠DCD′=135°=∠HCD′，符合SAS的判定定理．

解答 解：（1）∵∠D′CB=90°+α，∠DCE′═90°+α，
∴∠D′CB=∠DCE′，
在△BCD′和△E′CD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CE′=1}\\{∠D′CB=∠DCE′}\\{CD′=CD}\end{array}\right.$
∴△BCD′≌△E′CD（SAS），
∴BD′=E′D；
（2）能． α=135°或α=315°；
若α=135°，则∠DCD′=135°=∠HCD′，
在△DCD′与△HCD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=HC=2}\\{∠DCD′=135°=∠HCD′}\\{CD′=CD′}\end{array}\right.$，
∴△DCD′≌△HCD′．

点评 本题考查了旋转的性质，以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．