Question

7．数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形△ABC与△EFD，将△EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q，让同学们探究线段BQ与AD的数量关系和位置关系．
请你阅读下面交流信息，解决所提出的问题．
展示交流：
小敏：满足条件的图形如图甲所示图形，延长BQ与AD交于点H．我们可以证明△BCQ≌△ACD，从而易得BQ=AD，BQ⊥AD．
小慧：根据图甲，当点F在线段BC上时，我们可以验证小慧的说法是正确的．但当点F在线段CB的延长线上（如图乙）或线段CB的反向延长线上（如图丙）时，我对小慧说法的正确性表示怀疑．
（1）请你帮助小慧进行分析，小敏的结论在图乙、图丙中是否成立？请说明理由．
（选择图乙或图丙的一种情况说明即可）．

（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是分类讨论思想．
拓展延伸：
根据你上面选择的图形，分别取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T．则四边形MNPT是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BQ=AD，BQ⊥AD；
（2）利用已知条件分类得出，体现数学中的分类讨论思想，
拓展延伸：利用三角形中位线定理结合正方形的判定方法，首先得出四边形MNPT是平行四边形进而得出它是菱形，再求出一个内角是90°，即可得出答案．

解答 解：（1）成立，
理由：如图乙：由题意可得：∠FDE=∠QDC=∠ABC=∠BAC=45°，
则DC=QC，AC=BC，
在△ADC和△BQC中
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCQ}\\{DC=CQ}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BQC（SAS），
∴AD=BQ，∠DAC=∠QBC，
延长AD交BQ于点F，
则∠ADC=∠BDF，
∴∠BFD=∠ACD=90°，
∴AD⊥BQ；

（2）小慧思考问题的方式中，蕴含的数学思想是：分类讨论思想；
拓展延伸：四边形MNPT是正方形，
理由：∵取AB、BD、DQ、AQ的中点M、N、P、T，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，TP$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AD，
∴MN$\stackrel{∥}{=}$TP，
∴四边形MNPT是平行四边形，
∵NP$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BQ，BQ=AD，
∴NP=MN，
∴平行四边形MNPT是菱形，
又∵AD⊥BQ，NP∥BQ，MN∥AD，
∴∠MNP=90°，
∴四边形MNPT是正方形．

点评 此题主要考查了四边形综合以及全等三角形的判定与性质和正方形的判定方法、三角形中位线定理等知识，熟练应用正方形的判定方法是解题关键．